Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)
9. szám - Dr. Prékopa András–Szántai Tamás: Készletszintek optimális szabályozása és annak alkalmazása a Balaton vízszintszabályozására
394 Hidrológiai Közlöny 1980. 9. sz. Dr. Prékopa A.—Szántai T.: Készletszintek optimális szabályozása méretű mátrix és z egy iV-komponensű vektor, akkor / Mái A+Qz logaritmikusan konkáv függvénye a z változónak. Tekintsük most a £ v . komponensekből álló véletlen vektort, melynek jelölje e a várható érték vektorát és C a kovariancia mátrixát. Feltevésünk szerint a véletlen vektor többdimenziós normális eloszlású. Tegyük fel azt is, hogy ez az eloszlás nem elfajult. Ekkor létezik a véletlen vektor sűrűségfüggvénye, és ez a következő: det C-M 2 2 e .. ( det C-M f(x )={—2 Alkossunk a | 1, Xfjl n + N SÍI + y komponensekből két, tm és véletlen vektort a következő módon: (3.1) és particionáljuk az e, x vektorokat is ennek megfelelően. Jelöljék az így kapott részeket e M, e J, illetve x M, x J. Ekkor fennáll a következő összefüggés: ll 1 £ r tJ 1 s — • . V (3.2) e M =E( |w) r e, e n r e, e J =E(£ J) = n+1 e n+y Az M és a J felső indexek a Múlt, illetve Jövő szavak kezdőbetűivel azonosak. Rendezzük át, és particionáljuk a 0 kovariancia mátrix elemeit is az alábbi módon: cn+\, n+1 • • -Cn + 1, n+N c»+l> i • • -Cn + i, » Cn+y, n+i- • 'Cn + y, n + y Cn+N> i- • -Cn+yt n C v n + x • • -Cj, n + y . . .C 1" Cn, n+x ' • n+y Cn\ • • • Cnn (3.3) f E{k>-&<)(¥-e>), E{¥-e>){ \ S U] [ U' T J Ismert tény, hogy a véletlen vektor = x u feltétel melletti feltételes valószínűség eloszlása (3.4) e F=e J+UT~ 1(x M-e M) várható érték vektorú és (3.5) S-UT-W kovariancia mátrixú normális eloszlás, ahol az e F jelölésben az F felső index a „Feltételes" szóra utal. Ezért k J £ M = x M feltétel melletti feltételes sűrűségfüggvénye a következő: f(xJ\xM)=^ det (S-UT-W)112 N X --(xJ-eF)\S- t/T-lf/VW-e*') Xe 2 Az f{x M, x J) függvény az összes, x J és x M vektorokba foglalt változója szerint logaritmikusan konkáv. Jelenleg csak arra lesz szükségünk, hogy minden rögzített x M vektor mellett x J szerint logaritmikusan konkáv. Tekintsük az x J vektorok terében a következő halmazt: A —{x J\ct/;— ^ 0-X 1- . . . -Xn+Z^(- . . . +z nrS = ^+1+ . • . -f-Xn + iS síit- C 0 —a-j - • • • -Xn+Zi^- • ... + Zn, &=1,. . . ,N}. Ekkor a (2.4) probléma célfüggvényében szereplő valószínűség a következőképpen fejezhető ki: P(a hrá Ck-Z k^b k, k=n+1, . . ., n+N\ £ l = (3.8) =x i> • • • i ni ahol (3.9) / 1 A(z>i+x> • • • > Zn + y) : =x n)= J f{x\x M) dx, Zn + i Zn + x~\~Zn+ 2 Zn + i-\-Zn+2~\~ • • • ~\~Zn+y A 3.1. tételből és a (3.8) összefüggésből együttesen következik az alábbi tétel: 3.2. Tétel. A (3.8) valószínűség a z n+ 1,. . . ,z n+y változók logaritmikusan konkáv függvénye. T. W. Anderson az [1] dolgozatban a következő tételt bizonyította be: 3.3. Tétel. Legyen A az origó körül szimmetrikus, konvex halmaz az R m térben. Legyen f kvázikonkáv valószínűségi sűrűségfüggvény i2'"-ben, és rendelkezzék azzal a tulajdonsággal, hogy f(—x)—f{x) minden xcR m vektorra. Ekkor minden y£R' n vektor és Oáísl valós szám esetén fennáll az alábbi egyenlőtlenség: J f(x) dxa I f( x)dx. A +ty A+y
