Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)
9. szám - Dr. Prékopa András–Szántai Tamás: Készletszintek optimális szabályozása és annak alkalmazása a Balaton vízszintszabályozására
Dr. Prékopa A.—Szántai T.: Készletszintek optimális szabályozása Hidrológiai Közlöny 1980. 9. sz. 395 Más szavakkal ez a tétel azt állítja, hogv az A+ty halmaz valószínűsége minden rögzített y vektor mellett a t változó monoton csökkenő függvénye a 0°° intervallumon. A 3.3. tételből következik, hogy ha keressük a (3.8) valószínűség z„ + 1,. . .,z n+ N változók szerinti, feltétel nélküli maximum értékét, akkor a maximumot megvalósító z n+ 1,. .. ,z n +n értékek eleget tesznek a • dk+bk 11. 2 (>kezd + i — • • • — + + . .-)(3.10) +z»+*=0, k=l, . .., N egyenlőségeknek, ahol (3.11) Ckezd = C 0+^i+ • • • +X n-Z 1- . . . — Z n a tó vízkészlete az w+l-edik időperiódus kezdetén. Ez az a periódus, amelyre az optimális döntést meg akarjuk határozni. 4. A 2. szakaszban megfogalmazott problémák megoldása Ebben a szakaszban csak a (2.4) probléma megoldásával foglalkozunk, mivel a (2.3) probléma nagyon hasonló ehhez, külön tárgyalást nem igényel. Először megmutatjuk, hogy a (3.8) függvénynek a 0^z k-&K, k = n~\~\,.. .,n-\-N kockán történő maximalizálása visszavezethető ugyanennek a függvénynek a kocka legfeljebb N oldallapján történő maximalizálására. Bizonyos esetekben a feltételes szélső érték közvetlenül, bármiféle számolás nélkül is megkapható. Először ugyanis megoldjuk a z n^. v... ,z n +n változókra vonatkozó (3.10) egyenlőségrendszert. Ha a megoldásra azt kapjuk, hogv 0k = n+1,. . . ,n-\-N, akkor ez optimális megoldása a (2.4) feltételes szélsőérték problémának is. Másrészt, ha valamely i indexre Zi>K, vagy valamely k indexre z k<0, akkor a 3.3. tétel szerint az optimumhely a kocka azon oldallapjai egyikén található, amelyek ,,láthatók" a z B+ 1, • • • > zn+N koordinátákkal bíró pontból. Ezek az oldallapok a következőképpen állíthatók elő. Ha z t>K, akkor tekintjük a z t = K, . . ,i — l,i+l,.. . oldallapot, ha pedig z k < 0, akkor a z k = 0, O^Zj^K, j = n+l,. . .,k- 1,/fc+l,.. .,n+N oldallapot vesszük figyelembe. Nyilvánvaló, hogy az ilyen oldallapok száma legfeljebb N. Példa. Legyen n = 2, N = í és z 3> K, 0<z 4<Jf, z 5< 0, z^K. Ekkor az optimumhely szempontjából a következő három oldallapot kell figyelembe venni: {23,24,25,2,. | z 3 = K, O^ZJSK, j = 4,5,6}, {2 3,2 4,2 5,2 6| 25 = 0, OSZ^K, j = 3,4,6}, {z 3,2 4,2 5,2 6 | Z 6 = K, OSZj^K, j= 3,4,5}. , Az oldallapokon történő optimalizáláshoz különféle nemlineáris^ programozási eljárásokat használhatunk. Erre, és az ehhez hasonló sztochasztikus programozási problémák megoldására kipróbáltuk a megengedett irányok, a szekvenciális, feltétel nélküli minimalizálás (SUMT), a redukált gradiens, a rugalmas tűrés (flexible tolerance) és a metszősík módszert. Érdemes lehet röviden leírni a SUMT belső pont eljárás alkalmazását. Tegyük fel, hogy a (3.8) függvényt a következő oldallapon kívánjuk maximalizálni : {Zn+v • • • >%n+N | ti^Zj^K, j = n+ 2,. . .,n+N}. Ha a (3.8) függvény helyett annak a logaritmusával dolgozunk, akkor a büntető függvényt a következő képiét adja meg: n + x (4.1) \og P(a k^ t k-Zk^bk, k=n+l, ...,n+Nlti fe,)-r ^ logz*(l-z*), A- = n + 2 ahol r rögzített pozitív szám és z„ + 1 = K a Z>k=Z\-\-• • •-\-z k, k = n-\-l,.. . ,n+N összegekben. A (4.1) függvény konvex, és ez a tény a feltétel nélküli minimalizálási problémákat viszonylag könnyen kezelhetővé teszi.' Ezek megoldására tetszőleges feltétel nélküli optimalizálási eljárás alkalmazható (lásd [7]), melyek közül ugyancsak többet kipróbáltunk. Ugv tűnik, hogy a gradiens mentes mószerek alkalmazása javasolható. A (4.1) függvény gradiensének a kifejezése megtalálható ugyan a [10] dolgozatban, azonban az meglehetősen bonyolult, konkrét számítások végrehajtására kevésbé alkalmas. Minden egyes lépésben a függvényértékeket szimulációs módszerrel határoztak meg. A módszerhez rendelkezésre állnak gyors, COMPASS gépi kódban írt programrészek a Magyar Tudományos Akadémia CDC 3300as számítógépén (lásd [3]). Ha egv pozitív számokból alkotott, csökkenően nullához konvergáló, r vr 2,. . . sorozatot tekintünk, akkor a SUMT belső pont eljárás konvergens (a mi esetünkben a feltételek nyilvánvalóan teljesülnek) abban az értelemben, hogy (4.1) konvergál a (2.4) probléma optimuma negatív logaritmusához. Ha'iV=2, akkor az eredeti (2.4) probléma kétdimenziós, azonban mivel a {z n+ vz n+ 2 \ 0S2 n+ 1slJf, 0Sz n+ 2^K} kocka oldallapjai egyenes szakaszok, legfeljebb két egyenes szakasz mentén kell optimalizálnunk. Ezt a Fibonacci-féle kereső algoritmus alkalmazásával hajtjuk végre (lásd [15]). 5. A Balaton vízszintszabályozási módszere Sok kísérleti számítás végrehajtása után kiderült, hogv már akkor is elfogadható vízszintszabályozási mcxlszert nyerünk, ha (az összes addighelyett) csak a két utolsóként realizálódott valós színűségi változó értékét használjuk a feltételei valószínűségekben, és csak két lépésre előre optimalizálunk, vagyis az N = 2 választással élünk.
