Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

9. szám - Dr. Prékopa András–Szántai Tamás: Készletszintek optimális szabályozása és annak alkalmazása a Balaton vízszintszabályozására

Dr. Prékopa A.—Szántai T.: Készletszintek optimális szabályozása Hidrológiai Közlöny 1980. 9. sz. 393 A tó vízszintmozgását akkor tekintjük kedvezőnek, ha az (2.1) a

k^

k-Z

k^b

k, k = 1,2,... egyenlőtlenségek teljesülnek, ahol a z

v z

2,... vízmennyiségek eleget kell hogy tegyenek a (2.2) k=l, 2,... egyenlőtlenségeknek. Minthogy £

v |

2,... valószínűségi változók, a (2.1) egyenlőtlenségek teljesülése nem biztosítható 1 valószínűséggel. Mielőtt megfogalmaznánk a döntési elveinket egy általános megjegyzést fűzünk a sztochasztikus programozási modellek konstrukciójához. A sztochasztikus programozási problémákat oly módon fogalmazzuk meg, hogy előbb megfogalmazunk egy determinisztikus matematikai programozási problémát (amelyet kiinduló determinisztikus problémának nevezünk). Ezután megfigyeljük, hogy bizonyos paraméterek a valóságban véletlen jellegűek, ezért olyan új döntési elvet kell megfogalmaznunk, mely figyelembe veszi a problémában szereplő véletlen mennyiségek valószínűség eloszlását. A kiinduló matematikai programozási probléma lehet minimalizálási (illetve maximalizálási) jellegű, illetve olyan, hogy legalább egy, bizonyos feltételeknek eleget tevő vektort kell találnunk. Az utóbbi esetben a javasolt sztochasztikus programozási döntési elv abban áll, hogy a valószínűségi változókat nem tartalmazó feltételeknek eleget téve maximalizáljuk a véletlen jellegű feltételek teljesülésének a valószínűségét. A (2.1) és a (2.2) egyenlőtlenségek egy olyan kiinduló determinisztikus problémát képviselnek, melyben az ottani egyenlőtlenségeknek eleget tevő z

v z

2,. . . értékeket kell keresni. A figyelembe vett periódusok számának természetesen végesnek kell lennie. Megfigyelve, hogy |

1

( |

2,... valószínűségi változók, a fenti megjegyzésnek megfelelően a sztochasztikus programozási döntési elvet úgy fogalmazzuk meg, hogy maximalizáljuk a (2.1) egyenlőtlenségek teljesülésének a valószínűségét a (2.2) feltételek mellett. Mivel megvan a lehetőségünk arra, hogy egy dinamikus jellegű döntési eljárást alkalmazzunk, azaz minden egyes periódus kezdetén újra dönthetünk, a fent leírt döntési elv olyan problémák sorozatát eredményezi, melyekben a |

1

5 |

2,. . . sztochasztikus folyamat már realizálódott értékei melletti, feltételes valószínűségeket kell maximalizálni. Ebben a sorozatban az első probléma a következő: maxP{a

tmZk—Zt^h, k=l,. • -,N) (2.3) feltéve, hogy Osz

kmK, k = l,...,N. A 2

1*,.. . ,zjy* optimális megoldásból csak a z

y* értéket fogadjuk el, és megfogalmazunk egy új döntési feladatot. Az egyszerűség kedvéért az 5. szakasztól eltekintve elhagyjuk a csillagokat az optimális megoldások komponenseinek a jelöléséből. Tegyük fel, hogy már rögzítettük a z

v. . . ,z

n értékeket. Ekkor z

n+

1 meghatározása érdekében a következő nem lineáris programozási feladatot fogalmazzuk meg: max P(a

k^t

k—-Z

k^b

k, k = n+1,.. .,»+N\II.. .,£„) (2.4) feltéve, hogy 0sz

ksK, k = n+1 ,n+N. A fenti problémában a döntési változókat zn+v • • • <

zn+N jelentik. Miután kiszámítottuk az optimális megoldást, csak z

n+

1 értékét fogadjuk el végső döntési értékként. Ezzel a szabályozási módszerünket teljes egészében megadtuk. Megjegyezzük még, hogy egyes időperiódusokban a z

k döntési változókra pozitív alsó korlát előírása is szükséges lehet. Ez matematikailag semmiféle nehézséget nem okoz. Ha ugyanis K

0 egy pozitív alsó korlátot jelent a z

k döntési változóra, akkor z

k helyett az új, y

k = z

k—K

0 változót bevezetve, problémánk a (2.3) és (2.4) problémákkal azonos típusú problémává alakul át. Természetesen szükség esetén mind a K

0 alsó, illetve K felső korlát változhat az egymásutáni periódusok folyamán. 3. A 2. szakaszban bevezetett modell rendszer matematikai tulajdonságai Először megemlítünk néhány ismert eredményt a logaritmikusan konkáv mértékek elméletéből. Egy f(x), xf R

m nem negatív függvényt logaritmikusan konkáv (pont) függvénynek nevezünk, ha minden x

vx

2dB

m és 0<Á<1 esetén /[/*! +(1 - X)x

2] s [/(a1)]

A[/(a*

a)]

1~

AEgy, az R'

n tér mérhető részhalmazain definiált P mértéket logaritmikusan konkávnak nevezzük, ha az R

m tér konvex részhalmazai közül bármely A, B halmaz párra és tetszőleges 0 < A < 1 valós számra fennáll, hogy P[ XA + (1 - X)B] S [P(^)]'[P(i?)]

xA. Itt a + jel a Minkowski-féle összeadást jelöli, azaz két, mondjuk D és G halmazzal kapcsolatban D+G={d+g\d£D, gíG), továbbá a G halmaz XG konstansszorosán a XG = {Xg\g£öj egyenlőség által definiált halmazt értjük. 3.1. Tétel [9]. Ha egy P valószínűségi mértéket logaritmikusan konkáv f{x) sűrűségfüggvény generálja, azaz minden C c R

m mérhető részhalmazra P(G)= J f(x) dx, c akkor P logaritmikusan konkáv mérték. A 3.1. tételből következik, hogy ha A az R

m tér konvex részhalmaza, akkor / fit) dt A +x logaritmikusan konkáv függvénye az x változónak. EbbQl következik továbbá, hogy ha G egy n xN-es