Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

8. szám - Dr. Pintér János: Regionális vízminőségvédelmi döntési problémák sztochasztikus modelljei

370 Hidrológiai Közlöny 1980. 8. sz. £>r. Pintér J.: Regionális vízminőségvédelem használható legáltalánosabb tételt említjük meg (ld. [20]): Tegyük fel, hogy az (x,y)dR

n+

Q vektorpárokon értei mezeit g(x,y)cR

m vektorfüggvény gi i = l,.. ,m komponensei ií"

+

í-beli konkáv függvények. Tegyük fel továbbá, hogy az y folytonos valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye logaritmikusan konkáv. Ekkor a H(x)=P{

g

i(x,y)^ 0 1 mj (5.3) valószínűség cc-nek logaritmikusan konkáv függvénye. Ez azt jelenti, hogy az (5.2.)-ben szereplő sztochasztikus feltétel alkalmas transzformációval konvex programozási feladatba illeszthető. így (5.2) bizonyos esetekben konvex feladattá válik (pl. x-hen konkáv célfüggvény esetén), ami azt jelenti, hogy elvben bármely lokálisan konvergens nem lineáris programozási módszer alkalmas (5.2.) megoldására. Megjegyezzük, hogy (5.2.)-höz hasonlóan más, alkalmas szerkezetű sztochasztikus programozási feladatok is konvex problémává alakíthatók, az y valószínűségi változó sűrűségfüggvényének logkonkavitása esetén. A sűrűségfüggvényre vonatkozó feltétel számos, a vízgazdálkodási modellezésben fontos szerepet játszó valószínűségeloszlás (pl. normális, exponenciális, gamma-, Weibull-, Gumbel-eloszlás) esetében fennáll, tehát az ilyen típusú valószínűségi változókkal alkalmasan megfogalmazott sztochasztikus modellek számítástechnikai szempontból előnyösen oldhatók meg. Konvex programozási problémák gépi megoldására elvben számos determinisztikus algoritmus alkalmazható (ld. pl. [21], 280—440). Ilyen irányú gyakorlati eredmények is ismeretesek (pl. a szekvenciális feltétel nélküli optimalizálás, a redukált gradiens módszer, Veinott-támaszsík módszere, vagy Zoutendijk megengedett irányok módszere alkalmazásával, ld. a [16] kötet megfelelő dolgozatait). Ugyanakkor hangsúlyozzuk, hogy a gyakorlatban adódhatnak olyan esetek is, amelyekben a feladat matematikai modellje nem konvex, tehát nem rendelkezik a lokális és globális megoldás azonosságának tulajdonságával. Nyilvánvaló, hogy a modellalkotás alapvető szempontja a lehető maximális valóságtartalom megőrzése, ezért előfordulhat, hogy a döntési modell nem konvex feladatra vezet (vagy pedig lehetséges ugyan, hogy a feladat konvex, de ez közvetlenül nem ellenőrizhető). Foglalkoznunk kell ezért a több lokális optimummal rendelkező feladatok megoldásának kérdésével is. Sajnos, ebben az esetben közvetlenül a globális optimumhoz vezető keréső stratégia általában nem ismert. Ugyanakkor remélhető, hogy a feladat több „lokálisan konvex problémára" bontható fel, vagyis az egyes lokális optimumok behatárolhatók, és a globális optimum a részfeladatok megoldása után kiválasztható. A fenti szempontok figyelembevételével a feladatok megoldására az alábbi, heurisztikus elemeket is tartalmazó eljárást javasoljuk: a) A kiinduló megoldás(ok)ra vonatkozó előzetes becslés(ek) megállapítása. Ez elsősorban műszaki-gazdasági tapasztalatok alapján történhet. b) Az X — {x

a x = Xf} tartományon független, egyenletes eloszlású véletlen mintapontok felvétele, a megfelelő célfüggvény és feltételi függvény értékek meghatározása. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy tetszőlegesen kicsi p és a(0<p, a< 1) esetén megadható olyan M egész szám, hogy M számú véletlen mintapont között legalább 1—a valószínűséggel szerepeijen a lehetséges döntések legjobb 1 OO.p %-ába eső érték. Ehhez ugyanis elegendő megkövetelni az (1 —p)Mr£

x (5.4) egyenlőtlenség teljesülését, amelyből adódik. Illusztrációképpen néhány (p, a) párhoz tartozó minimális M értéket a következő táblázatban sorolunk fel: p/a. 0.1 0.05 0.01 0.2 11 14 21 0.1 22 29 44 0.05 45 59 90 0.01 230 299 459 (5.6) M =M (p, a) Megjegyezzük, hogy bár az (5.4.) egyenlőtlenség az optimumtól való abszolút eltérése közvetlen becslést nem szolgáltat, erre vonatkozó közelítés esetleg a kapott mintapontokban felvett célfüggvényértékek empirikus eloszlása alapján adható. Másrészt a mintapontok számának növelése egyre kisebb p, a értékekre érvényes becslést tesz lehetővé. Természetesen M növelésének a szekvenciálisan kapott becslések relatíve csökkenő információtartalma és a rendelkezésre álló számítógépi kapacitás határt szab. A b, pontban leírt eljárás többféle módon finomítható (pl. a fontosnak tekintett döntési változócsoportok szerinti, ill. az a, lépésben javasolt döntések környezetében történő mintavétel sűrítésével, vagy a eélfüggvényértékek empirikus eloszlásának analitikus függvényközelítéseivel), c) Az a)—b) lépések célja a megengedett megoldások halmozásának „feltérképezése" és „reménytkeltő" induló megoldások kiválasztása. Ezeket a kiinduló megoldásokat azután valamilyen matematikai programozási algoritmussal próbáljuk fejleszteni. Tekintve, hogy az (5.2.) feladatban szereplő függvények analitikus alakja általában nem ismert, elsősorban nulla- vagy elsőrendű (tehát csak a függvényértékeket, ill. a célfüggvények gradienseit vagy ezek becslését felhasználó) algoritmusok alkalmazását tartjuk célszerűnek. Ügy gondoljuk, hogy a már említett determinisztikus nemlineáris programozási módszerek mellett érdemes a feladat végtelen jellegét alapvetően tükröző sztochasztikus approximációs, illetve véletlen kereső eljárásokat is figyelembevenni. (Megjegyezzük, hogy — eléggé általános feltételek mellett —- az utóbbi módszernek folytonos, de nem szükségkép-