Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

8. szám - Dr. Pintér János: Regionális vízminőségvédelmi döntési problémák sztochasztikus modelljei

Dr. Pintér J.: Regionális vízminőségvédelem Hidrológiai Közlöny 1980. 8. sz. 335 üzemirányításának problémáját hierarchikus szervezésű dinamikus programozási feladatok megoldásával határozzák meg. A megoldás három szinten történik: az éves vízkészlet periódusonként i szétosztása, egv periódus vízkészletének a közvetlen felhasználók közötti szétosztása, a közvetlen felhasználók után visszamaradó vízkészletek szétosztása (pl. vízerőmű utáni mezőgazdasági felhasználás). A több szintű dinamikus programozási módszer lehetővé teszi nagyméretű problémák részletes megoldását is. Ugyanakkor a véletlen tényezők figyelembevétele ilyen típusú modellekben eléggé nehéz. Véletlen jelenségektől függő szekvenciális döntési feladatok numerikus megoldására is alkalmas leírás adható több lépcsős sztochasztikus programozási feladatok megfogalmazásával. Dinamikus sztochasztikus programozási feladatok megfogalmazásának alapelveit — több modellel illusztrálva — tárgyalja [16], A dolgozat bemutatja, hogy bár az említett típusú problémák zárt láncú (closed-loop) megoldása formálisan sokszor megadható, ennek numerikus kiértékelése általában nem hajtható végre. Ehelyett nyílt láncú (open-loop) módszereket ajánl (amelyek egyébként az egzakt megoldási elv közelítésére is alkalmasak). Az idézett dolgozat a sztochasztikus irányítási modellek megfogalmazásában alapvetőnek tartja az alábbi szempontok figvelembevételét: a) A döntéshozatal szekvenciálisan történjék, a rendszert befolyásoló véletlen jelenségek (valószínűségi változók) minden realizációja után. b) A döntés — a szereplő valószínűségi változók feltételes eloszlásainak figyelembevétele útján —tükrözze a rendszer korábbi állapotait. c) A döntés a valószínűségi változók jövőbeli realizációit — együttes eloszlásfüggvényük segítségével — vegye figyelembe. A módszer alkalmazására példaként a [17] dolgozatban leírt modellt említjük, amely a Balaton optimális vízszintszabályozásának problémáját szekvenciálisan megoldható sztochasztikus programozási feladatokra vezeti vissza. Lényegileg hasonló módszerrel vizsgálják a Velencei-tó vízszintszabályozásának kérdését, illetve a Tiszavölgvi tározórendszer üzemeltetési problémáját a [18] és [19] dolgozatok. Ilyen jellegű hierachikus szerkezetű döntési modellsorozattal írható majd le a Balaton-térségben tervezett regionális vízgazdálkodási rendszer optimális üzemirányításának problémája is, ennek konkrét formájával azonban jelenleg indokolatlan volna foglalkoznunk. 5. A modellek matematikai megoldása és gépi realizációja Ebben a fejezetben a kitűzött sztochasztikus programozási feladatok megoldásával kapcsolatos legfontosabb fogalmakat és módszereket foglaljuk össze. Elsődleges célunk annak megvilágítása, hogy bár a fentiekben megfogalmazott modellek általában véve bonyolultabbak, mint a nekik megfelelő determinisztikus alapfeladatok, matematikai és számítógépes megoldásuk mégis lehetséges. A korábbiakban tárgyalt döntési modellek az alábbi közös formában fogalmazhatók meg: max f(x, y) gi(x

ay)^0 i = l,...,m (5.1) Xa — X — Xf Itt x a döntési változókat, y pedig a vizsgált probléma megoldását lényegesen befolyásoló valószínűségi változók egy realizációját reprezentálja (x és y megfelelően n- és q-dimenziós vektorok). A g m-dimenziós vektorfüggvény gi=l,...,m komponensei a feladat korlátozó feltételeit jelölik, külön tüntettük fel a döntési változókra vonatkozó explicit korlátozásokat. Végül / a feladat célfüggvénye (pl. népgazdasági haszon, elhárított kár stb.), amelynek maximálását szeretnénk megvalósítani. Megjegyezzük, hogy az y vektort valószínűségi változóként tekintve, a feladat (5.1.) alakú megfogalmazása helyett annak sztochasztikus alakját kell vizsgálnunk. Ha a probléma megfelelő átalakítását elvégezzük, akkor eléggé enyhe feltételek mellett az (5.1.)-nek megfelelő sztochasztikus feladatnak létezik megoldása: ehhez ui. csak az utóbbi probléma feltételeinek, ill. célfüggvényének folytonossága szükséges. Az (5.1.) alakú matematikai programozási feladatok, ill. sztochasztikus kiterjesztéseik közös vonása, hogy több lokális optimummal rendelkezhetnek. Emellett — a szereplő valószínűségi változók hatásának következtében — általában sem a célfüggvény, sem pedig a feltételi függvények egzakt értéke nem ismert. Ezért a feladat megoldása ebben az esetben optimalizálási és becslési (pl. szimulációs) eljárások kombinációjával határozható meg. Ezen azt értjük, hogy az optimalizálás a vizsgált döntési alternatívák algoritmikusán kiválasztott sorozatán haladva történik. Az egyes iterációs lépésekben adódó döntések minősége viszont többnyire analitikus alakban nem ismert, hanem a feladatban modellezett események sztochasztikus szimulációja útján értékelhető ki. így az egyes döntési alternatívák kiértékelése viszonylag hosszabb számítógépi időt vesz igénybe, továbbá a kapott függvényértékek pontatlanok is lesznek. Tekintsük az (5.1.) determinisztikus modell egy sztochasztikus kiterjesztését. Ez pl. a már korábban is alkalmazott módszerrel, a max. E[f(x, y)] (5.2) P{gi(x, y) &0 i=l,.. 1 alakban adható meg (tehát a célfüggvény várható értékét képezzük, és a sztochasztikus korlátozó feltételek együttes teljesülésének valószínűségére alsó korlátot írunk elő). Prékopa több dolgozatában bizonyított speciális (logaritmikusan konkáv) sűrűségfüggvényű valószínűségi változókkal konstruált sztochasztikus programozási feladatokra vonatkozó tételeket. Itt az (5.2.) típusú modellekkel kapcsolatban