Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

7. szám - Harkányi Kornél: Természetes vízfolyások simasági paramétereinek sztohasztikus vizsgálata

Harkányi K.: Természetes vízfolyások Hidrológiai Közlöny 1980. 7. sz. 323 viden autospektrum függvény. Egy sztochasztikus adatsor varian ciasűrűség spektruma az adatsor autokovariancia-függvényének Fourier transzformációjával nyerhető [6] és alábbi módon írható fel <K yUf) = J <P*z(l)e- dl (24) — QO ahol a xpxAf) autospektrum függvény valós függvénye a frekvenciának, így jól ábrázolható. A Fourier integrál tulajdonképpen az autokovariancia függvény frekvencia tartományba való transzformálását jelenti. A 4. ábrán a simasági paraméterek adatsorának autospektrum függvényét ábrázoltuk. Az érdekesség kedvéért a k paraméter meghatározásához szükséges többi paraméter (F, R. I) spektrum függvényeit is egymás alá rajzoltuk. A vízszintes tengelyen az / szögfrekvenciákat tüntettük fel 0-tól 27r-ig, ebből a távolság egyszerűen a 2 jr// hányadossal képezhető. A spektrum az adatsor teljes varianciájának az egyes frekvenciákon való eloszlását reprezentálja, másszóval egy adott frekvenciához tartozó variancia sűrűséget, tehát a függőleges tengelyen a varianciasűrűséget ábrázoltuk. Az ábrából az adatsorban levő periódusok hosszai leolvashatók és az egyes periódusok amplitúdójára is tudunk következtetni. Annak megállapítása, hogy a 17 km-es perióduson kívül mely periódusok szignifikánsak, további kutatást igényel. Ugyanis a négy gyakrabban alkalmazott szignifikancia vizsgálat — ne3.3 A véletlen komponens vizsgálata A teljes adatsorból a trend és a perióduskomponenseket kiszűrve megkapjuk a véletlen komponenst, más néven a zaj komponenst . r

1(l) = X(l)-R(l)-P(l) (29) Az r)(l) folyamatot m-ed rendű autoregressziós folyamatnak nevezzük, ha minden l-re teljesül az m r,(l)=2

ia

i.r

1(l-i) + e(l) (30) i = 1 egyenlőség, ahol az a

t (t=l, ..., m) értékek az autoregressziós együtthatók (más néven parciális autokorrelációk), e(l) pedig az ún. ,.fehér zaj", vagy tisztán véletlen folyamat, amely független, azonos eloszlású valószínűségi változók adatsora. A (30) autoregressziós séma karakterisztikus egyenletének gyökei megmutatják, hogy az rj(l) folyamat stacionáriusnak tekinthető-e vagy sem. Látható, hogy a (6) általános adatsor-modell r](l) véletlen komponense nem szükségképpen független valószínűségi változó (csak, ha az összes a, = 0), hanem Markov típusú. Az autoregressziós modell vezetesen a Hald, Schuster, Fisher és Walker-féle - egymástól eltérő eredményt mutat, pontosan abban a tartományban, ahol a 17 km-nél rövidebb periódushosszú periódusok jelentkeznek. További vizsgálat célja a simasági paraméterek adatsoránál megbízhatóan alkalmazható szignifikancia vizsgálat kiválasztása. A periodikus komponensek kiszűréséhez, illetve azok szórásának megállapításához szükségünk van a periodikus összetevők matematikai formában való felírására. A perióduskiszűrés elve az, hogy a periódusokat úgy képzeljük el, mint harmonikus függvények szuperpozícióját. Tehát a kiszűrés a Fourier féle harmonikus analízisen alapszik. Ha ismert az L periódushossz, amely az autospektrum-függvény segítségével meghatározható, akkor a P(l) periódus-komponens Fourier sora a következőképpen írható fel [6]: P(l) = y; ^.cos sin (25) k = 1 ahol Ak és a Fourier-együtthatók, melyek számítása A* X(l).cos lí±L (2

6) i = i B

t=~ZX(l).sin^tL (27) i = í A periodikus komponens szórásnégyzete az alábbi képlettel írható fel: (28) TO rendszáma tulajdonképpen azt mondja meg, hogy a rendszer mennyire „emlékszik" vissza (TO a rendszer memóriája). A símasági paraméterek esetében m = 2-re adódott, vagyis ez azt jelenti, hogy valamely szakasz simasági tényezőjére a két szakasszal előbb számított k tényező még hatással van, de a hárommal előbb levő már nem. A parciális autokorrelációk az m = 2 mellett a YULE-WALKER egyenlet gyökei: c

í = c

0 -%+C! •a, (31) c

2 = Cj - (íj -\-C

0 -a

2 A Tisza simasági paramétereinek vizsgálatánál a

1 = 0,4526, a

2=0,0127-re adódott. A karakterisztikus egyenlet gyökei m = 2 esetén az m 1- £ a

m,j-zi=0 (32) 3 = 1 egyenlet gyökei, ahol m— 1 . .2 Az egyenlet gyökeinek abszolút értékei z

1= 2,087 z

2= 37,60. Mivel a gyökök az egységkörön kívül helyezkednek el, a folyamat stacionárius. U, - cos -sin } / = 1 fc = 1 L