Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

5. szám - Dr. Szigyártó Zoltán: Folytonos eloszlásból származó kis elemszámú minták illeszkedés-vizsgálata

198 Hidrológiai Közlöny 1980. 5. sz. Dr. Szigyártó Z.: Folytonos eloszlásból származó talmazó minták illeszkedés-vizsgálatainak az eredménye is egyenletes eloszlást kell mutasson. Ilyen módon tehát a 2. táblázatban feltüntetett vizsgálati eredménysorozatok egyúttal megnyitják a lehetőségét annak, hogy az illeszkedés kérdését egy magasabb szinten is megvizsgáljuk. Ehhez ugyanis nem kell mást tennünk, mint soronként el kell végezzük az ott található értéksorozatok, mint minták illeszkedésének vizsgálatát a (0: 100) közötti egyenletes eloszlásra. Ilven módon kaptuk tehát azokat az eredményeket. amelyeket a 2. táblázat utolsó oszlopa mutat be, illetve amelyek közül kettőt a 2. ábrán grafikusan is szemléltetünk, s amelyek újabb bizonyítékot szolgáltatnak a normális eloszlás gyakorlati alkalmazhatóságára. A magyarországi töltésezett folyókon észlelt évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásának típusa Az előzőekben már szó volt arról, hogy az eloszlásra vonatkozó hipotézis teljesülése esetén ugyanazon valószínűségi változó, egymástól független adatokat tartalmazó minták illeszkedésvizsgálata olyan végeredményt szolgáltat, mely (százalékos értékkel számolva) (0; 100) intervallumban egyenletesen oszlik el. Tovább menve belátható azolibán az is, hogy ugyanilyen egyenletes eloszlást kell szolgáltassanak azoknak a vizsgálatoknak az eredményei is, amelyek olyan, egymástól független elemeket tartalmazó mintákra vonatkoznak, amelyeknél csak az eloszlás típusa azonos, de annak paraméterei egymástól eltérőek — feltéve, hogy az eloszlástípusra vonatkozó hipotézis igaz. Ez a körülmény szolgált aztán alapul azoknál a korábbi vizsgálatainknál, amelyeknél a magyarországi töltésezett folyókon észlelt évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásának a típusát kívántuk meghatározni [5., 45- 54. o.]. Akkor még nem állt rendelkezésre az itt bemutatott e próba, s ezért (s mivel az illesz kedés-vizsgálat céljára rendelkezésre álló eredmények száma csupán 5, illetve 7 volt) döntésünket az empirikus középértékeknek az 50%-tól számított eltérésére alapoztuk. Most azonban nincs akadálya annak, hogy ezt alátámasszuk a szabatos illeszkedésvizsgálatok eredményeivel is. A már említett munkánkban arra a következtetésre jutottunk, hogy az eloszlás típusaként vagy a normális eloszlás, vagy a maximumok exp[—exp(—a-)] típusú eloszlása jöhet szóba. Döntésünkhöz pedig egy (a függetlenség szempontjából minden vonatkozásban kielégítő) 5 elemű minta, illetve egy olyan 7 elemű minta vol t felhasználható, mely utóbbi a már említett 5 elemű mintából és további két (a .függetlenség szempontjából némiképp kedvezőtlenebb) mintaelemből állt (3. ábra, 3. táblázat). Az említett minták alapján elvégzett számítások részleteit a 3. táblázat mutatja be — amelynél az Xj és az F(xj az egyenletes eloszlás feltételezése következtében mutat azonos értéket. Ami a végeredményt illeti, ez alkalommal is megállapítható, hogy a normális eloszlással történő közelítés valamivel jobb megoldásnak mutatkozik. így ezek a számítások is alátámasztják azt a korábbi döntésünket, hogy a legnagyobb jégmentes vízállások eloszlását normális eloszlással közelítjük. összefoglalás A hidrológiában a statisztikai vizsgálatokhoz felhasználható minták elemszáma korlátozott. Ezért e területen mindig nagy volt az érdeklődés az olyan statisztikai módszerek iránt, amelyek segítségével a kis elemszámú mintákból is szabatos következtetéseket lehet levonni. Ezért akkor, amikor az európai szocialista országok illetékes szervei célul tűzték ki a hidrológiában használatos statisztikai módszerek számbavételét, értékelését s ennek alapján a számítási eljárásokra egy egyeztetett összeállítás elkészítését: egyúttal előirányozták a kis mintákra rendelkezésre álló módszerek lehetőség szerinti továbbfejlesztését is. Ehhez a célhoz igazodva került kidolgozásra az itt bemutatott eljárás, az ,,e próba", mely szabatos megoldást ad a folytonos eloszlásból származó kis minták illeszkedés-vizsgálatára. A tanulmány az előzmények ismertetése során, az (1) és (2) képlet kapcsán, hivatkozik Fihser egyik tételére, majd — az 1. ábra felhasználásával az optimális illeszkedést definiálva — bemutatja, liogv a tétel továbbfejlesztésével miként lehet azt az exponenciális eloszlásból származó minták i 1 leszkedés - vizsgál atára felhasz n ál ni. Ezt követően Kolmogorov egy észrevételére építve a tanulmány k mutatja, hogv a (7) képlet felhasználásával bármely folytonos eloszlást a 1 =1 paraméterű exponenciális eloszlásba lehet transzformálni anélkül, hogy az a minta illeszkedésviszonyait bármiképpen is befolyásolná. Az elméleti fejtegetések gyakorlati hasznosíthatóságát kívánja elősegíteni az 1. táblázat, amely a 30 elemű mintákig bezárólag megadja a vizsgálatokhoz szükséges 1%-os és 5%-os alsó- és felső quantiliseket. A tanulmány a 2. és 3. ábrához, illetve a 2. és 3. táblázathoz kapcsolódó példák bemutatásával zárul. Az ezek kapcsán kapott egyes számszerű eredmények arra utalnak, hogv a bevezetett új próba érzékenysége nagyjából a Kolmogorov-próba érzékenységével azonos. IRODALOM [1] Szentmártony T.: Matematikai statisztika a műszaki gyakorlatban. A Mérnöki Továbbképző Intézet kiadványai, Matematika ti. sz., Tudományos Könyvkiadó N. V., Budapest, 1950. 12] Rényi A.: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1954. [3] Onyegyenko, B. V.—Baljajev, J. K.—Szolovjev, A. D.: A megbízhatóságelmélet matematikai módszerei. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970. Az eredeti orosz nyelvű kiadás adatai: Matyematyityeszkije inetodi v tyeorii nagyezsnosztyi. i z.datyelsztvo „NAUKT", Moszkva, 1965. |4] Csorna .1.—Szigyártó Z.: A matematikai statisztika alkalmazása a hidrológiában. Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Intézet, Budapest, 1975.