Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

5. szám - Dr. Szigyártó Zoltán: Folytonos eloszlásból származó kis elemszámú minták illeszkedés-vizsgálata

Dr. Szigyártó Z.: Folytonos eloszlásból származó Hidrológiai Közlöny 1980. 5. sz. 195 akkor az r] = F(£) valószínűségi változó a (0; 1) intervallumban egyenletes eloszlású, s így a | és az rj empirikus eloszlásfüggvénye a saját eloszlására teljesen azonos módon illeszkedik. Belátható azonban az is, hogy az így kapott r/ valószínűségi változót egy folytonos G(z) eloszlásfüggvény inverzével t, = G~

1(r\) módon transzformáljuk, úgy ezen újabb C valószínűségi változó empirikus eloszlásfüggvényének az illeszkedése is teljesen egyenértékű az eredeti változóra, a |-re vonatkozó minta illeszkedésével. Nevezetesen a szóbanforgó feltételek teljesülése esetén F(z) =P( | =P[F( £) < F(z)] = =P{G-WÍ)]<G-'[FW]}, vagyis F(x)=G(z). (6) A bemutatott utat követve lehetőség nyílik tehát arra, hogy bármely folytonos eloszlást egy tetszőleges másik folytonos eloszlásba transzformáljunk; természetesen anélkül, hogy a kisebb, egyenlő és a nagyobb relációk megváltoznának, így természetesen lehetőség van arra is, hogy bármelyiket a legegyszerűbb, /= 1 paraméterű exponenciális eloszlásba transzformáljuk; amely elvégzése után viszont már mód nyílik arra, hogy a korábban bemutatott módon, a minta elemszámától függetlenül, szabatosan elvégezzük az illeszkedés-vizsgálatot is. Összefoglalva: Ha a szóbanforgó, folytonos valószínűségi változó eloszlásának típusa nem exponenciális, a próba elvégzésénél az egyedüli különbség csak az, hogy a feltételezett F(x) eloszlású minta elemeit a G(z) = 1—e-* eloszlásfüggvény z=-ln[l-öfz)] inverzét felhasználva, s a (6) összefüggés szerinti G(z) — F(x) egyenlőséget figyelembe véve az eredeti valószínűségi változót a CI = — ln[l — F( (7) átalakítással az exponenciális eloszlásba transzformáljuk. A továbbiakban pedig értéket alapul véve már közvetlenül használhatjuk az e„-t definiáló (1) összefüggést, illetve az 7. táblázatot. Példák A Duna mohácsi évi legnagyobb jégmentes vízállásainak eloszlása A minták egyedi vizsgálata A „Matematikai statisztika alkalmazása a hidrológiában" című könyvünk több példa keretében foglalkozik a Duna mohácsi szelvényében észlelt évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásával. Az 1892—190 Í közötti 70 év észlelési eredményeire támaszkodva bemutatja a momentumok számítását [4., 37. o.] a mintaelemek függetlenségének [4., 42. o.], egyöntetűségének [4., 47. o.] és a minta illeszkedésének [4., 59., 107. o.] a vizsgálatát. Mindezek eredménye alapján arra a következtetésre jutott, hogy a minta jó közelítéssel 1. táblázat (juantilisek az e próba elvégzéséhez TaöAui/a 1. KeaiimuAii k npoeepKe no e: Table 1. Quantiles for carrying ou) the e-test (a)examples,(b) significance level lower than 1 %,(c) significance level between 1 and 5 %, (d) significance level above 5 % n Qea( 1 %) Qea(5 %) Qef(5 %) Qef( 1 %) 2 0,505000 0,525000 3" 0,364412 0,400283 0,943253 0,979124 4 0,268873 0,322006 0,813120 0,866253 5 — 0,272678 0,715186 0,788526 6 — 0,238636 0,549368 0,721792 7 — 0,213422 0,579162 0,664404 8 — 0,193870 0,530172 0,615166 9 — 0,178189 0,489483 0,572713 10 — 0,165284 0,455106 0,535841 11 — 0,154447 0,425637 0,503567 12 — 0,145194 0,400072 0,475103 13 — 0,137186 0,377658 0,449820 14 — 0,130176 0,384668 0,427217 15 — 0,123978 0,340152 0,406888 16 — 0,118453 0,324281 0,388506 17 — 0,113490 0,309948 0,371801 18 — 0,109003 0,296929 0,356550 19 — 0,104923 0,285049 0,342573 20 — 0,101 195 0,274195 0,329711 21 — 0,097771 0,264137 0,317834 22 — 0,094614 0,254918 0,306832 23 — 0,091692 0,246300 0,296610 24 — 0,088978 0,238324 0,287088 25 — 0,086450 0,230890 0,278196 26 — 0,084088 0,223940 0,269864 27 0,038805 0,081874 0,217430 0,262050 28 0,036508 0,079796 0,211313 0,254705 29 0,035623 0,077838 0,205565 0,247780 30 0,034889 0,055993 0,200141 0,241245 Példák (a): e

2 =0,504000, szignifikancia szint 1 % alatt (b) e„ =0,506000, szignifikancia szint 1 % és 5 % közöt t (c) 62 = 1,000000, szignifikancia szint 5 % felett (d) e

3 =0,500000, szignifikancia szint 5 % felett (d) f

3 =0,950000, szignifikancia szint I % és 5 % között(c) f

3 =0,980000, szignifikancia szint 1 % alatt (b) f

5 =0,200000, szignifikancia szint 1 % és 5 % között(c) egymástól teljesen független elemeket tartalmaz, a minta egyöntetű, s az eloszlás jól közelíthető a 763 cm középértékű és 80,9 cm normális eloszlással. Vizsgáljuk most meg, milyen eredményeket kapunk az illeszkedéssel kapcsolatban akkor, ha a következtetéseinket az említett 70 elemű minta helyett 5, 10, 15, 20, 25, 30, és 35 elemű mintákra alapozzuk, s vizsgálati módszerül a most tárgyalt e próbát választjuk. A fenti célnak megfelelően elvégzett, s az egyes, egymáshoz csatlakozó 5, 10,... és 35 éves időszakok adatai alapján végrehajtott illeszkedési vizsgálatok végeredményeit a 2. táblázat foglalja össze; olymódon, hogy az időszakokat feltüntető fejlécnek megfelelő oszlopokban az e próba segítségével számított százalékos valószínűségek találhatók. Már a korábbiakban, e tanulmány keretében is megemlékeztünk arról, hogy a Kolmogorov-féle próba alkalmazásának gyakorlati határát a 30-as mintaelemszám jelenti. Ezért a két-két 30- és 35 elemű mintánál az illeszkedés-vizsgálatot el-