Hidrológiai Közlöny 1979 (59. évfolyam)
4. szám - Szöllösi-Nagy András: A lefolyás jelenségének modellezése és rövid távú előrejelzése Nash-féle kaszkádokkal
172 Hidrológiai Közlöny 1979. 4. ,sz. Szöllősi-Nagy A.: A lefolyás jelenségének, dítva. És minthogy az autokorrelációs függvény definiálja az autoregresszív modelleket, kimondhatjuk, hogy minden determinisztikus kaszkádmodellhez rendelhető egy autoregresszív folyamat. A kaszkád-modell legegyszerűbb esetében — amikor n — 1 (egyszerű egytározós rendszer) — a súlyfüggvény (5): K(t) = Ye-<i« Ezt behelyettesítve (37)-be J_ e~TiK J_ e { K ) K K (37a) / dt Qvv(Ö)=oo / 2t -= e-°i* (37b) K 2 K dr (37b)-ről felismerhető, hogy ez a hidrológiai gyakorlatban igen elterjedten alkalmazott elsőrendű autoregresszív modellek autokorreláció függvénye [6]. Az ilyen — általában adatsorgenerálásra használt — módszert más néven elsőrendű Markov-folyamatnak is hívják, melv y t+ 1=Qv«Wyt+°t < 37 c) alakú, és azt fejezi ki, hogy egy új adatot mindig csak az őt megelőző adatból, és valamilyen véletlen komponensből állítunk elő. Az elsőrendű autoregresszív sémákra jellemző, hogy autokorrelációs függvényüket az egylépéses autokorrelációból építhetjük fel, ami egyben azt a tényt is kifejezi, hogy a rendszer egy időegységnyit „emlékezik" vissza, tehát, QvvW = QvvW(37d) Ha Q y y (1) pozitív, akkor Q y uifi) minden értékre pozitív és Qyy^ QvvW Ha Qyy (1) negatív, akkor Qyy (ft) pozitív & páros értékeire és negatív # páratlan értékeire. A Q yy(ft) abszolút értékre csökken, ha f) növekszik. (37d) és (37b) összevetésével és mindkét oldalon #-adik gyökvonással K-ra az alábbi kifejezést kapjuk: \ K=— . (37e) In Qyy( 1) Mivel Q v v(l) < 1, Ingyy(l) < 0, tehát a K tározási tényezőre pozitív értéket kapunk, ami megfelel K fizikai tartalmának. (37e) a rendelkezésünkre álló vízhozamadatsorból már számítható. Tehát a fentiekből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy egy elsőrendű Markov-modell „illesztése" az idősorhoz ugyanaz, mintha feltennénk, hogy a vízgyűjtő egyszerű egytározós rendszerrel modellezhető. Az előzőek folytán felvetődik a kérdés, vajon milyen sztochasztikus modell felel meg annak az esetnek, amikor a kaszkád-modellben n 1 ? Quimpo megmutatta [11], hogy az ilyen módon modellezett vízgyűjtőkhöz magasabbrendű autoregresszív séma „illeszthető" — egyenértékű módon. Ha a kaszkád két tározóból áll, akkor ennek súlyfüggvénye (6): h 2(t)= T^e~tlK. (38) Ezt behelyettesítve (37)-be: / Ír 1 t + ű -I±£ , O T K p K A t KK KK a t QmW = I 1 -e K dr K 2 Qvv(ö) = e-»l41+-|), (38a) és így tovább 3, 4, . . ., tározóból álló rendszerre is kapunk egy, az autokorrelációs függvénnyel kifejezett összefüggést, n darab egymás alatt elhelyezkedő tározó súlyfüggvénye (v. ö.: (9)): lit 1 r(n) ezt behelyettesítve (37)-be: QvA#) = J K \K) r(n) K { K ) ' e a t f(n) 1 (x^c-h 1 / K 2 U) (.R(»)) . e-2 T,K dr ' T + T K*»(r(n)) I e~ r' K e K x n~\x + ß) n~ ldx \ n)) J K*»(r(n)) i F z / e K . H»))» J r 2<» _ 1)dr (39a) (39a)-ban a nevező egyszerűen kiszámítható: 2r — = x és 2(n— 1 )=y— 1 behelyettesítésével: (IP!/ — / 'd*=íyj V(y), J eT XT l(»,)dT=^yj I" r(2n— 1), (39b) tehát QyyW = e-oiK J e-Wli'+r^-'di 0 /XV»1 (yj A számlálóban levő integrál értéke [3], [4]: oo J e-2r/Ä( T2 +T d)»-l dT = (40) e-HK ( K& ( & \ —J ' < 41 ) r r
