Hidrológiai Közlöny 1979 (59. évfolyam)

4. szám - Szöllösi-Nagy András: A lefolyás jelenségének modellezése és rövid távú előrejelzése Nash-féle kaszkádokkal

170 Hidrológiai Közlöny 1979. 4. ,sz. Szöllősi-Nagy A.: A lefolyás jelenségének, 5. A modell paramétereinek becslése az idősorok autokorrelációfiiggvényéből A (11) összefüggésből — formálisan — azt a következtetést vonhatjuk le, hogy minden determinisztikus modellhez rendelhető egy vele egyenértékű stochasztikus modell — hiszen kaszkád-modell súlyfüggvényét előállíthatjuk Poisson-függvényekből. A formális analógián túlmenően ez a megállapítás tartalmi szemponból is figyelemre méltónak tűnik — mivel teljesen hasonló leírását kapjuk a vízgyűjtőnek, ha azt bolyongáselméleti módszerekkel vizsgáljuk (Holló Gy. szíves közlése). A különböző modellek közötti szoros analógia tehát lehetőséget teremt az alapvetően determinisztikus modell paramétereinek becslésére a sztochasztikus folyamatok elméletének módszereivel. A hidrológiában általánosan használt modellek a vízgyűjtőt lineáris, koncentrált paraméterű időinvariáns rendszernek tekintik, melynek y(t) kimenete (pl. a vízgyűjtő kifolyási szelvényénél jelentkező lefolyási idősor az x(t) bemenetből (pl. csapadékból) a következőképpen számítható: oo y(t)= J h(r)x(t-r)dr, (24) o ahol h (.) a rendszer súly függ vénye, amelyre a h(t) = 0, ha t < 0 Volterra-feltétel teljesül, azaz a rendszer fizikailag megvalósítható. Ha meghatározzuk a (24)-gyei adott y(t) kimenő idősor autokovariancia függvényét, akkor meg tudjuk teremteni a determinisztikus és sztochasztikus modellek közötti kapcsolatot, mivel a (24) autokovariancia függvénye a h(.) magtól is függ, és a h(t) súlyfüggvény tartalmazza a determinisztikus modell paramétereit (a Nash-modell esetében: n és K). (A könnyebb matematikai kezelhetőség érdekében feltesszük, hogy az x(t) és y(t) idősorok stacionáriusak és ergodikusak, valamint zérus várható értékűek. Ellenkező esetben a periódusok és a trendek kiszűrésével azzá tehetők.) Az {y(t):t£T} folyamat -ö lépéses (p

y

y{.) autokovariancia-függvénye (definíciószerűen): cp

y

y(n=E[y(t)y(t+m (25a) amelybe (24)-et behelyettesítve: oo (p

v

v{ft)=A J h(t)x{t-r)dr• o • j h(0)x(t + ö-0) d©J, (25b) o ahol — a megkülönböztetés végett —- bevezettük a 0 új integrálási változót. Az E[.] várhatóértékképzési operációt „bevive" (25b)-be (mivel az kommutatív az integrálással, mert az integrál lineáris funkcionál): VVV(T) = F F h(T)h(0). o o • E[x(t — z)x(t +— 0)] d0 dx (26) 10. ábra. Markov-típusú idősor autokovariancia-függvénye Puc. 10. AemoKoeapuaHmHan (pyHKifUR epeMewiozo pnda MapKoecKozo muna Fig. 10. Autocovariance function of Markovian-type time series és az x(t) idősor stacionaritását kihasználva (a szögletes zárójelben levő kifejező várható értéke csak a (t+{f- 0)-(t~r) = d + x-0 eltolási időtől függ és a bemenet autokovariancia-függvényét adja): <p

y

y{-&)= J J h(r)h(0)(pxx(ft + x — 0) d0 dr, (27) o 0 / tehát a kimenet autokovariancia-függvénye a bemenet autokovariancia-függvényétől és a rendszer h(.) súlyfüggvényétől függ, vagyis (27) megteremti a súlyfüggvény paramétereinek becslését az idősor kovariancia-függvényéből. Ezt tekintjük át a következő pontokban. 5.1 Markov-típusú bemenő idősor esetében (az árhullámké'p-áthelyezés feladata) Vízfolyások vízhozamidősorainak „viselkedése" Markov-folyamatokkal általában jól nyomonkövethető [11], melyek autokovariancia-függvénye <p

x

x(r)=o*e~

v M (28) alakú exponenciális függvény (10. ábra), ahol er

2 = ffxx(0) az idősor szórásnégyzete és v valamilyen állandó. Megjegyzés: a v paraméter meghatározásához logaritmáljuk (28)-at ln<p

x

x(T) = ln<7

2-vr, (29) amely szemilogaritmikus papíron ábrázolva (11. ábra) v iránytangensű egyenest ad. Ha tehát egy folyószakasz alsó szelvényébe kívánjuk „áthelyezni" a felső szelvény árhullámképét (24)-gyel, akkor a (9) súlyfüggvény paramétereit (n és K) a következőképpen határozhatjuk meg: á „bemenő" árhullámkép (28) autokovariancia függvényét helyettesítsük be (27)-be: <?„„(#) = ff h(x)h(0)a

2 e-»(*'+T-e) d0 dr, (30) o o 0 ly l 11. ábra. Markov-típusú idősor v paraméterének meghatározása Puc. 7 7. OnpedeAenue napaMempa v ÖAH epeMennozo pnda MapKoecKoeo muna Fig. 11. Determination of the parameter of Markovian type time series