Hidrológiai Közlöny 1979 (59. évfolyam)

4. szám - Szöllösi-Nagy András: A lefolyás jelenségének modellezése és rövid távú előrejelzése Nash-féle kaszkádokkal

Szö}lősi-Nagy A.: A lefolyás jelenségének Hidrológiai Közlöny 1979. 4. sz. 169 P'

0(t)=-±e-'l«=-±P

0(t). (18) és (19) ismeretében rekurzive: KP'

0(t)=-P

0(t) KP[(t)= P^-P^t) KP'

2(t) = P

x(t)-PS) KP'

n^(t) = P

n_

2(t)-P

n^(t) (19) K{n w&r-d t és legven —= r, akkor SJ- K (20) 'Jn(t) •• (n-1) •J Tn-1

e-rdr = 1 (n-1)! r(n,t) (23a) ahol r(n, t) = í / x

n~

1e~

xdx Ez a differenciálegyenlet-rendszer analóg a véletlen eseményfolyamatok differenciálegyenletrendszerével [10]. A (20) lineáris, állandó együtthatójú differenciálegyenletet kapjuk az Erlang folyamat és a sorbanállási problémák tanulmányozásakor is. A (20) átrendezésével kapjuk: a nem-teljes gammafüggvény. Alkalmazva a teljes ganmafüggvény egész w-ekre érvényes tulajdonságát (/^(n) — (n —1)!): 9n(t) = r(n, t) P

0(t)=-KP'

0(t) P

1(t)=-K[P^(t) + Pm P

2(t)=-K[P'

0(t) + P[(t) + P'

2(t) ] »-1 P«-i(t)=-K £ P'

(í

) v = 0 (22) tehát (22)-t felhasználva az átmeneti függvény: «-1 g„(t) = l- V P

v(t) (23) Vagyis az n tározós rendszer átmeneti függvényét is felépíthetjük Poisson-függvényekből. Megjegyzés: (23)-at egyszerűbb módon is megkaphatjuk: t ?»(«) =J Pn-i(t) dí r(n) ós a Poisson-eloszlásra érvényes n-1 1 r(n, t) r(n) n-1 (23c

) v=0 r=0 (21) összefüggést [12], az n tározós rendszer átmeneti függvényére a következőt kapjuk: n-1 <?»(«)=i- 2 P"

(t

) (23d) ami ugyanaz, mint (23). Néhány átmeneti függvényt tüntet fel a 9. ábra. A (17) integrál kiszámításához integráljuk soronként (21)-et 0-től í-ig —, és vegyük figyelembe, hogy P

o(0) = 1 és v S l-re P

v(0) = 0: t J P

0(t) dt=- K[P

0(t)í = K[ 1 - P

0(f)] o t J P

1(t)dt=-K[P

0(t) + P

l(t)í= =K[1-P

0(t)-PM i f Pn-l(t)dt=-K[P

0(t) + P

1(t)+... 0 + Pn-l(t)]'o = = K[1-P

0(t)-P

1(t)- ... -P„_i(í)] = n-1 »-1 9. ábra. A g

n(t) = 1 — P„(t) átmeneti függvények v=0 ( Vágás nyomán) Puc. 9. (pyHKiiuu nepexoda muna n—1 gn(t)=l- 2 v=o (coeAacHo Baeatay) n-1 \ i Fig. 9. Transient, functions, g

n(t) = l— > Pv(t), after Vágás v=0