Hidrológiai Közlöny 1979 (59. évfolyam)

4. szám - Szöllösi-Nagy András: A lefolyás jelenségének modellezése és rövid távú előrejelzése Nash-féle kaszkádokkal

Szö}lősi-Nagy A.: A lefolyás jelenségének Hidrológiai Közlöny 1979. 4. sz. 167 4. ábra. Kéttározós rendszer hatásvázlata Puc. 4. CxeMa 6AUHHUH cucmeMbi c deyMH eodoxpanuAUllfQMU Fig. 4. Block diagram of a two-reservoir system tározó súlyfüggvénye szintén (5) alakú, azaz teljes tározórendszer súlyfüggvénye: t (b) 5. ábra. Háromtározós rendszer hatásvázlata Puc. 5. CxeMa BAUHHUH cucmeMbi c mpeMH eodoxpanuAUUFOMU Fig. 5. Block diagram of a three-reservoir system Három egyforma tározóra (5. ábra) — figyelembe véve az (5) és (6) kifejezéseket: t K

3 2 és így tovább n darab egymás alatt kaszkádszerűen elhelyezkedő tározóra (6. ábra) a t h„(t)= J h^t— x)Ji

n-\{r) dr 6. ábra. n-tározós rendszer hatásvázlata Puc. 6. CxeMa BAUHHUH cucmeMbi c ,n' eodoxpanuAuiifaMu Fig. 6. Block diagram of an n-reservoir system Megjegyzés: A gamma függvény a faktorális általánosítása nem egész n-ekre. Legyen n >- 0, akkor szukcesszív konvolválással kapjuk: lit V

41 1 (8) r(n) = j sen- I

e-x da-, 0 Ha n egész szám, akkor: r(n + l) = nr(n) Legyen n= 1, tehát (9a) (»-1)1 ami teljes indukcióval is könnyen bizonyítható. Teljesen hasonló eredményre jutott Kalinyin és Miljukov az árhullámkép-áthelyezés feladatának megoldásakor [5], amikor a nem permanens vízmozgás differenciálegyenletének megoldását keresték. Ahhoz, hogy a (8) nem egész w-ekre is érvényes legyen Nash a faktoriálist gamma függvénynyel helyettesítette: 1 ( t V»1 1 M=HK) rn

e~"

K (9

) r(i). F e~

x dx=l, h

n felhasználva az előző tulajdonságot F(n+ 1) = n\ Tehát (9) megadja n, egymás alatt kaszkádszerűen elhelyezkedő — tározó súlyfüggvényt (kaszkádmodell). A kaszkád-modell alkalmazásával a vízgyűjtő valódi súlyfüggvénye közelíthető, és vele az előrejelzés feladata elvégezhető [8].