Hidrológiai Közlöny 1979 (59. évfolyam)
4. szám - Szöllösi-Nagy András: A lefolyás jelenségének modellezése és rövid távú előrejelzése Nash-féle kaszkádokkal
166 Hidrológiai Közlöny 1979. 4. ,sz. Szöllősi-Nagy A.: A lefolyás jelenségének, oldás, azért ezt behelyettesítve a differenciálegyenlet azonossággá kell, hogy váljék. (4d) első deriváltját, az y'(t) = c(t) e-t'K - — c(í) e-tIK K kifejezést a (4a)-ba helyettesítve: Kc'(t) e-tIK - c(í) e-t!K + c(í) e'«/* = 1, azaz LINEARIS TAROZO KISFREKVENCIÁJÚ RC SZURO ós (4e) integrálásával c'( t) = L em c(í) = e'IK + X (4e) y{t) = e~tlK( etlK + = i + x etlK g(t) =1 — e~ l l K, 0. (4g) cf(t) x(t)=ó(t) K= const. (a) , Mt) 1 toroiós rendszer h,(t) y(t)-h,(t) i(t)-x(t) g(t) 1 ~g(t)=1-e'^1-P 0(t) (b) 0 U(t)=y(t) t h(t) 4 fifth 1 < 1 f (ti t 2. ábra. Egytározós rendszer átmeneti és súly függvénye Puc. 2. Gymcifuu nepexoda u SAUHHUH ÖAH cucmeMbi c OÖHUM eodoxpaHUAUitfeM Fig. 2. Transient- and response functions for a single-reservoir system \ "(0 •M K tárolási tényező w i(négypólus v. Integráló kör) 3L u(t) i R ohmikus ellenállás C kapacitású kondenzátor KML+y<t).*(t) ahol x integrálási állandó. Tehát a differenciálegyenlet általános megoldása: Súlyfüggvények (4f) A kezdeti feltétel: ha t = 0, y(0) = 0— hiszen túlfolyás nem kezdődik meg a befolyás pillanatának kezdetekor — azaz (4f)-ből kapjuk, hogy x = — 1. Tehát a rendszer g(t) átmeneti függvénye — az l(t)-re adott válasz: (0 ,ha t<0 Mt)-\ 1 „4 1 fce* ,hot*0 r 0 ,ha t<0 h(t)=\ . t | vagyis h(t) megoldása a \ K^+y(t)-<f(t) differenciál egyenletnek A rendszer h(t) súlyfüggvényét — a Ó(t) Diracfüggvényre adott választ — egyszerűen megkaphatjuk, ha figyelembe vesszük az egységugrás és a Dirac-függvény között fennálló l'(t) — d(t) differenciális kapcsolat következményeként adódó g'(t) = h(t) összefüggést [2], Tehát (4g) differenciálásával az egytározós rendszer súlyfüggvénye (2. ábra): h l(t) = ^e-"«,t^ 0. (5) 3. ábra. Analógia a hidraulikai és elektromos rendszer között Puc. 3. Atia.iozuH Meitcdy zudpaenunecKou u BAeKmpimeCKOU cucmeMaMU F ig. 3. Analogy between hydraulic and electric systems (Az 1-es index jelzi, hogy egy tározóról van szó. Itt jegyezzük meg, hogy az (5) egyenlet a tározó kiürülését is leírja — apadási görbe). Az (5) egyenlet megoldása tehát a (5a) differenciálegyenletek, amely formailag teljesen megegyezik a kisfrekvenciájú RC szűrő differenciálegyenletével (3. ábra). Ez az analógia teremt lehetőséget a lefolyási jelenség analógiás számítógéppel való modellezéséhez, és ily módon n darab egymás alatt elhelyezkedő tározó működése n darab sorbakapcsolt RC szűrővel leírható. (Analógiás berendezések előrejelzési alkalmazásáról számol be Becker és Gloss [1], valamint Szokolovszkij [13]). Megjegyzés: Az (5) ismeretében tetszőleges x(t) bemenethez tartozó y(t) kimenet meghatározható, a súlyfüggvény és a bemenet konvolúciójával: t t y(t) = J h 1(r)x(t-r)dr = J h^t - T)X(T) dr, (5b) 0 o mert a konvolúeió kommutatív. Ha egy lineáris tározó elfolyó vize egy másik lineáris tározóba folyik, akkor a rendszer két tározó sorozataként fogható fel (sorbakapcsolt tározók). Ha az első tározóba a bemenet az egységimpulzus, akkor a túlfolyó víz (kimenet) az (5) egyenlettel jellemezhető, ez viszont a második tározó bemenete (4. ábra). A második tározóból való kifolyást — tehát az egész rendszer súlyfüggvényét — megkaphatjuk a h^t) második tározóba való bemenet és a második tározó súlyfüggvényének konvolúciójával. A második tározó azonban lineáris és feltesszük, hogy K tározási tényezője megegyezik az elsőjével, tehát a második
