Hidrológiai Közlöny 1978 (58. évfolyam)
10. szám - Dr. Szigyártó Zoltán: Alapfeltevések és egyszerűsítések a nyíltfelszínű, permanens vízmozgás felszíngörbéinek a számításánál
Dr. Szigyártó Z.: Alapfeltevések és egyszerűsítések Hidrológiai Közlöny 1978. 10. sz. 4-35 Másrészt az (5) egyenlet jobb oldali első tagjának az integrálja a v és a ds mindenkori párhuzamossága miatt zérust ad J - • v X rotv • ds = 0. (10) Pi Végül az (5) egyenleg integrálásakor szem előtt kell tartani azt is, hogy a gyakorlati szempontból fontos turbulens állapotban a víztér minden pontjában a sebesség az időben véletlen jellegű ingadozást mutat, s így 9v továbbá, hogy a jobb oldal így megmaradó két utolsó tagjának az integrálja éppen a P 1 és a P 2(t) pontok közötti, t időpontbeli energiaveszteséget adja: P 2(t) f (--^-rot-rotv-^-j ds = -h vl 2(t) (12) P 1 Mindezek behelyettesítésével és a megfelelő rendezések elvégzése után juthatunk tehát a súrlódásmentes folyadékok hidraulikájából ismert alakhoz igen hasonló 2 2 = g + + (13) v 2 = v 2(P 2), P 2 = P 2(t), kifejezésre (1. ábra) — azzal a megjegyzéssel, hogy ez jelenleg nem a teljes szelvényre, hanem a két szelvény között a t időpontban fennálló egyik tetszőleges áramvonalra érvényes. A felszíngörbe számításához egyáltalán beszerezhető mérési adatok azonban nem egy t időpontbeli, hanem az időben átlagosnak tekinthető viszonyokra; s emellett még nem is egy áramvonalra, hanem az egész szelvényre vonatkoznak. így indokolt az az igény, hogy a levezetett alapképlet is e feltételekre legyen érvényes. Ezért mindenekelőtt képezni kell a (13) összefüggés mindkét oldalának időbeli átlagát, azaz várható értékét. Ezen művelet során aztán a következőkre kell tekintettel lenni: Először is igaz az, hogy az összeg várható értéke egyenlő a tagok várható értékének az összegével, s így az átlagképzés tagonként elvégezhető. Tovább menve: a (13) összefüggés levezetésénél abból indultunk ki, hogy a P l pont helye rögzített, így a bal oldal első tagja —• a g osztótól eltekintve — egy rögzített pontra vonatkoztatva az egységnyi víztömegeknek a (turbulencia miatt véletlen jellegű ingadozást mutató) mozgási energiáját adja amelynek várható ^rtéke viszont a sebesség M(v,) = Vim várható értékének a négyzetéből és a turbulens energiát ádó E u tagból tevődik össze a következő módon (10): lM(v?)=iv?ü i + Eu (14) Et a sebességvektorra vonatkozó szórástenzor első invariánsának a fele . vagy másképpen kifejezve Et = — (°fi + ol 2 + or| 3), ahol <7 U, a22 és a 3 3 a P pontbeli sebesség azon vetületeinek szórásnégyzete, amely vetületek a P ponton, mint origón átmenő, három, egymásra merőleges tengelyre vonatkoznak. A (13) összefüggés bal oldalának második tagja a rögzített P l pont feletti vízszint magasságát jelöli, amely (tekintettel arra, hogy feltételünk szerint a tömegerő a gravitációs erővel azonos) értelem szerint konstans, s így = (15) A jobb oldal első tagjának átlagolásánál az eddigiekhez viszonyítva bizonyos további bonyodalmakat okoz az a körülmény, hogy a turbulencia miatt az időben nemcsak a v 2 sebesség, hanem a P 2 pont helyzete is változik (1. ábra). így tehát a v 2 sebesség pillanatnyi értéke nem a P l pontból kiinduló áramvonal átlagos helyzetének megfelelő P 2 pontra, hanem az attól többé-kevésbé eltérő P 2(t) pontra vonatkozik, s ennek az utóbbinak a helye ugyancsak véletlenjellegű ingadozást végez. Mindez pedig azt jelenti, hogy az M(v 2) várható értéket szabatosan a keverékeloszlásokra vonatkozó szabály szerint kellene meghatározni. Igen valószínű azonban mégis az, hogy a gyakorlati esetekben a P.,(t) pont ingadozási tartományán belül a középsebesség nagyságának a változása elhanyagolható, s ugyanakkor a turbulencia lényegében térben homogénnek tekinthető. Ennek eredményeként pedig a P 2(t) pontban uralkodó sebességviszonyokat várhatóan jól jellemzi a P l pontból kiinduló áramvonal átlagos helyzetének megfelelő P 2 pontban uralkodó viszonyok. Más szóval az M(v 2) meghatározásánál, jó közelítéssel, alkalmazhatjuk az M(V 2) kifejtésénél már követett utat. Tehát az M(V 2) = V 2M jelölési módot bevezetve: ^MÍTÖ^Tbr + ^a. (16) Az előbbinél sokkal kevesebb gondot okoz a (13) egyenlet jobb oldalának utolsó két tagja. Tekintettel ugyanis arra, hogy egyedüli tömegerőnek a gravitációt tekintettük, a víz felszínének nincs keresztirányú esése, s így a P 2(t) pont helyének ingadozása nincs hatással a felette levő vízfelszín magasságára M(// 2) = // 2. (17) m
