Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)
12. szám - Dr. Varga István: Szabályozott vízszintű csatornák általános dinamikai vizsgálatának elmélete
Dr. Varga / .: Szabályozott vízszintű csatornák Hidrológiai Közlöny 1977. 12. sz. 541 3.3. A linearizált egyenletek transzformálása. Általános megoldás A (3.4) egyenletrendszer időtartományban is megoldható, rögzített határfeltételek mellett [4]. Az általánosabb tárgyalás érdekében az egyenletrendszert operátortartományban oldjuk meg. Ismeretes, hogy egy olyan függvényt, amely a t valós változón kívül egy x valós (vagy komplex), de í-től függetlenül változó paramétertől is függ — esetünkben £(a;, t), ill. (p(x, t) — akkor a paraméteres függvény Laplace-transzformáltja: OO Z(x,p) = CQ(x,t) = f í{x,t)e-r"dt o y(x,p) = 0<p{x,t)= j <p(x, t)e~P' -p' dt Az x szerinti integrálás vagy differenciálás a transzformálás előtt és után is elvégezhető, az eredmény nem változik. A (3.4) transzformált alakban már közönséges differenciálegyenlet-rendszerként adódik [7]: "da; g g dx dW d Z h 0b 0p(Z-Z 0) + v 0f 0 + ( 3-5) dx Differenciáljuk (3.5) első egyenletét x paraméter szerint: h 0 d 2Z v n d xF vi d 2W —-p dx 2 g dx g dx 2 2 b n x 1 dZ <VF dx •+ . 7 r 26„ pc 1 dZ „ A d'Fjdx differenciálhányadost kifejezve a (3.5) második egyenletéből és x szerint mégegyszer differenciálva: bji p(z-z 0)b° h° d Z dW dx dW_ b^ dZ b 0h 0 d 2Z dx ~~ vj 0 P da; / 0 da; 2 «o/o /o da; Visszahelyettesítve ezeket az összefüggéseket a (3.5) x szerint differenciált első egyenletébe és a 2b 0h 0 g/o kifejezéssel végigosztva: g/o d 2Z da; 2 2 L v i 1 dZ n l° P + 26 0Ä 0 J da; - [p + 2i 0JL] pZ = - [p + 2i 0 -^j pZ 0 (3.6) A (3.6) már egy lineáris, inhomogén, közönséges másodrendű differenciálegyenlet. Bevezetve a következő jelöléseket: _g/o_ 2 2 2 i v0 — v0 uo 7 = frpg/o* 2 bji 0 ß=2 i 0fvo a (3.6) homogén részének karakterisztikus egyenlete a következő alakú lesz: [8] c\r 2- 2(v 0p + y)r - (p + ß)p = 0 A karakterisztikus egyenlet gyökei: _v 0p+ y [c 2 p\(y 0y +c\ß)p1- y 2] 1' 2 '1,2 .» I A C C 1 1 A diszkrimináns kifejezése formailag átalakítható: ri 2Íp) = voP+ 7 , c 0[(p + a)(p + b)y* (3.7) ahol co o A karakterisztikus egyenlet gyökeinek ismeretében megadható (3.6) általános megoldása. Z(x, p)=G 1(p) exp r 1x + C 2(p) exp r 2x + Z 0(x) (3.8) ahol C^p) és C 2(p) integrálási állandók. Ha a (3.5) folytonossági egyenletéből kifejezett dW behelyettesítjük az energiaegyenletbe és felda; használjuk (3.8) a;-szerint differenciált kifejezését [13]: W(x, p) = A(p)C 1(p) expr xx + B(p)C 2(p) expr 2a; + + D(p)Z 0(x) + E(p) W 0(x) (3.9) ahol A(p)-B(p) = D(p) = g ~p + 2i 0 O h 0v 0 V e n = r>+2i 0 2 b 0 x •; E(p)= í2 i„ jV + 2i 0 f h J o wo A (3.8) és (3.9) összefüggések a (3.5) általános megoldásai; a nempermanens áramlás-jellemzők változásainak Laplace-transzformáltját fejezik ki explicit formában, tetszőleges, de egyensúlyban levő áramlásból származó kezdeti feltételek mellett.
