Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)

11. szám - Szöllősi-Nagy András: Szochasztikus irányítási modell vízfolyások oxigénfogyasztásának folyamatos szabályozásához. II. rész

Szőllősi-Nagy A.: Sztochasztikus irányítási modell Hidrológiai Közlöny 1977. 11. sz. 475 3. táblázat A sztochasztikus vízminőségszubályozási rendszer optimális dinamikus irányítási algoritmusa Table. Optimal control algorithms for stochastic water quality systems (a) Control model (b) Measurement model (c) Control constraints (d) Initial conditions

: the same as at the prediction algorithms and (e) Performance measure (f) The objective is to minimize J subject to the system dynamics and the control constraints (g) Optimal control policy (h) is obtained from the prediction algorithms and (i) Minimal expected loss Irányítási modell (a) Mérési modell (b) Irányítási korlátok (c) y, íx«+l)=0x(í)+Ai(í)-Mv(í), w«)~N(0, lt„«)) 1 z(í) = Hx(t) + «(í), w(í)~N(0, U

2 (t)) 11(f) € U Kezdeti feltótelek (d) ugyanazok mint az előrejelzési algoritmusnál ós S(tf)=Q„ Célfüggvény (0) JV-l j = <5Í||x(tf)-d||* + V [|| x(f)-d!P +||u(í)||*]1 l Qi i A feladat: (f) minimalizálandó J a E dinamika és az irányításokra vonatkozó korlátozások mellett Optimális irányítási politika: (g) U*(í)= -L(í)[x(<|í-l)-d], ahol \(t 1 t— 1) az előrejelzési algoritmusból kapható, továbbá (h) L(í) = [Q, + rrS(i + 1) P]-i FTS(t +1)0 S(í) = WS (Í +1)0 + Q

t _ Lr(

t)[Q

2 + prs(t + 1) T]L(í) Minimális várható veszteség (i) N- 1 min

f5{J} = ||x(í

ü)||^ + 8(<„)P(í

0) + 2 2 S(

í + 1)

RiW ° D t = t

0 D N-1 + y^ v i»(< 11~ Di^«)r

Ts(«+1)0 t=t

0 D a/, előírtnál (az optimumnál). Az első esetben az irányítási folyamat magától értetődően folytatódik tovább a (62) stratégia szerint, míg a második esetben az első döntési változó felveszi maximális értékét — a tisztítóműből a megengedhető maximális szennyvízterhelést eresztjük a befogadóba —, ós ettől kezdve az optimális stratégia szerint megy tovább az üzem. Bár annak felettébb kicsi a valószínűsége — pontosan a folyamatok statisztikus jellegénél fogva —, hogy ilyen „abszolút" stabil állapot előáll, mégis nem árt előre bebiztosítani magunkat ilyen esetre is, hiszen előfordulhat az az abszurdum, hogy a folyó saját maga a megkívánt állapotban van, s ilyenkor nem „fogad el" semmiféle irányítást — azaz nem üzemeltethetnénk a szennyvíztisztítót sem. A fenti irányítási stratégiával mindezt megelőzhetjük. Ugyanakkor azt is biztosítanunk kell, hogy az irányítás stabil állapot felé vigye a rendszert. Elemi eszközökkel (1. [14]-ben) belátható, hogy a tárgyalt irányítási stratégia: globálisan asszirnptotikusan stabilis. Az it t nem részletezhető sztochasztikus stabilitás izgalmas kérdéskörét illetően Kushncr [43] könyvére utalunk, ökoszisztémák vonatkozásában pedig a [45, 59] dolgozatokra. Érdemes még néhány pillanatig elidőzni az optimális irányítási politika egy igen érdekes tulajdonságánál. Ez pedig az, hogy a (62)-vel adott optimális politika két részre bont ható fel: nevezetesen a Kalman-szűrő szolgáltatta egylépéses feltételes előrejelzés, ill. a (61) irányítási mátrix számítására. Ez utóbbi a rendszer struktúráját leíró 0, ésT — valamint a célfüggvény Q

(

), Q, és Q

2 mátrixaitól függ és független a bizonytalanságoktól, ami annyit tesz, hogv L(t) előre (off-line) kiszámítható — hasonlóan az előrejelzési algoritmus K(f) mátrixához. (Közbevetőleg jegyezzük, meg hogy az L(t) ugyanaz mint a determinisztikus dinamikus programozás irányítási mátrixa.) A folyamat irányítása során fellépő sztochasztikus hatásokat pedig az állapotelőrejelzési algoritmus veszi figyelembe. Ez az igen jelentős eredmény az ún. szeparálási elv [33, 69], amely kimondja, hogy gaussi fehér zaj bizonytalanságokkal terhelt kvadratikus célfüggvényű lineáris dinamikus rendszerek sztochasztikus optimalizálása determinisztikus optimalizálás és optimális állapotbecslés együtteseként határozható meg, vagy ami ugyanez: az állapotbecslés és irányítás feladata szukcesszive szétválasztható és megoldható, anélkül, hogy az optimalitás érvényét vesztené. Az optimális irányítási politika hatásvázlatát valamint a szeparálási elvet a 4. ábra szemlélteti. Újabban bebizonyították [1], hogy a szeparálási elv nem-gaussi és korrelált bizonytalanságok esetén is érvényes. Megjegyezzük még, hogy a mérési vektor dimenziójának növekedésével a K(f) és L(<) mátrixok elemei állandó érték felé tartanak — az ergodikus állapot felé. Az irányítási és becslési probléma egymásnak duálisai, hiszen az állapotbecslés K(/) mátrixa megfelel az irányítás L(í) mátrixának [v.ö.: (43) és (61)]. Ugyanez a megfeleltetés mondható el a többi vál-