Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)

11. szám - Szöllősi-Nagy András: Szochasztikus irányítási modell vízfolyások oxigénfogyasztásának folyamatos szabályozásához. II. rész

476 Hidrológiai Közlöny 1977. 12. sz. Szöllősi-N agy A.: Sztochasztikus irányítási modell Figure 4. The block diagram of the optimal control strategy for the stochastic water quality system (a) System dynamics (b) Measurement model (c) Control (d) Estimation (e) Unit delay tozóról is; az állapotbecslés t időváltozója például az irányítás negatív, —t, idő változójának felel meg. További részleteket illetően a [2, 10, 74] könyvekre utalunk. A fejezet összefoglalásaképpen megállapíthatjuk: egy folyószakasz optimális sztochasztikus dinamikus vízminőségszabályozása sztochasztikus állapotbecslés és determinisztikus dinamikus programozás egymásba ágyazásával valósítható meg. Az optimális vízminőségszabályozási politika zárt alakban előállítható és állapotvisszacsatoláson alapszik. A javasolt algoritmus kisszámítógépre különösen jól alkalmazható, hiszen a rekurzivitás miatt mindig csak az állapotvektor utolsó optimális becslését kell tárolni; a zárt alakban előállítható irányítási politika következtében a dinamikus programozásnál oly gyakran fellépő dimenzióproblémától nem kell tartani, s így a vízminőségi változók nagy száma vonható be a vizsgálatba — ez persze azok dinamikus viselkedését leíró modell felépítését és a változók mérését igényli. ( Folytatása következik) 4 Helyesebben: esetünkben egy kétdimenziós súlyozó vektor, lóvén, hogy a folyamatnak csak egy állapotváltozóját tudjuk mérni — s csak ebből az egy mérési sorozatból tudjuk az információt a két állapotváltozóra vonatkozóan stilyozni — a dim x • dim z méretű súlyozó mátrix 2 • 1 méretű lesz, vagyis vektorrá degenerálódik. A továbbiakban azonban az általánosság fenntartása kedvéért változatlanul a súlyozó mátrix elnevezést használjuk. 5 A várható veszteséget másként Bayes-kockázatnak is nevezik, utalva a legkisebb négyzet- és Bayes-becslések közötti mély fenomenológiai összefüggésre. 6 Egy összegmátrix nyomának képzését tagonként is végrehajthatjuk, hiszen könnyen belátható módon: 2 (A+B)= 2 A+ 2 J

í' D DD tetszőleges A, B mátrixokra, viszont egy mátrixszorzat nyomára hasonló tulajdonság már nem áll fenn, tehát 2 AB, 2 A 2 B. D DD Egy hármas mátrixszorzat nyomának deriváltjára fennáll [3], hogy Ä 2 ABA

r= 2AB, D feltéve, hogy B szimmetrikus. Igaz továbbá az is, hogy 7 E becslések Bayes becslések, ennélfogva maximum likelihood, ill. legkisebb-négyzet becslések is. 8 A Kalinan-szűrő tulajdonképpen a „fekete doboz" elven alapuló, ismeretlen dinamikájú idővariáns lineáris rendszerek becslésével/előrejelzésével foglalkozó Wienerszűrő időtartománybeli általánosítása olyan dinamikus sztochasztikus idővariáns rendszerekre, ahol a rendszer dinamikáját lineáris differenciálegyenletekkel lehet leírni. A fő különbség a két szűrési elmélet között abban rejlik — a Kalman-szűrő javára —, hogy ez utóbbival a rendszer működéséről rendelkezésre álló a priori strukturális, fenomenológiai stb. ismereteket is figyelembe lehet venni — szemben a Wiener-szűrővel, inely erre nem alkalmas és kizárólag a bemenet/kimenet párok mérésén alapszik. A Wiener-szűrő hidrológiai alkalmazását [76]-ban mutattuk be egyszerű egyváltozós csapadók/lefolyás rendszerre és megjegyeztük, hogy a zajok kiszűrése további műnkát igényel. A fentiekből láthatóan a Kalman-szűrő erre is alkalmazható. Ami a nemlineáris szűrést (becslés-elméletet) illeti, annak elmélete még kidolgozatlan, bár approximáció gyanánt sűrűn alkalmazzák az ún. kiterjesztett Kalman-szűrőt [10]. 9 Tekintsük az x*(í) optimális állapot-trajektóriát, ö osszuk azt fel két részre. A Bellmantól [5] származó optimum-elv kimondja: Egy optimális trajektória második szakasza maga is optimális. Ez az első pillanatban triviálisnak tűnő tény igen mély tartalmat hordoz. Módszeres következtetéssel — a trajektória több szakaszra bontásával — levezethető belőle az optimális trajektória egyáltalán nem triviális (52) szükséges — és itt egyben elégséges — feltétele [14]. Az optimum-elv még így is fogalmazható: Az u*(t) optimális stratégia nem függ a rendszer előtörténetétől, csupán a kezdeti állapottól ós a végső céltól. További részleteket illetően 1. az [5, 14, 61, 89] munkákat.