Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)
11. szám - Szöllősi-Nagy András: Szochasztikus irányítási modell vízfolyások oxigénfogyasztásának folyamatos szabályozásához. II. rész
474 Hidrológiai Közlöny 1977. 12. sz. Szöllősi-N agy A.: Sztochasztikus irányítási modell <${£(«+! 101 = |í-i)+ ru(t) <5{|| x(í+i I 0-d||| (t+1 ) = = 1 1 | {-1) - d + ru(011| (< +1) + V S(í + l)0K(i)[HI'(i I t- 1)KT + R 2(t)]KT(t)0T (58) c<w{x(í+l | 0l^í-l} = = <Z>K(í)[HP(í | t - l)HT +R 2(t)]KT(t)4>T kifejezésekkel jellemzhető, vagyis az F. 2. lemma alkal- O mazásával az (53)-ban szereplő lO(.) (56) szerinti fel- , , , , , . ,, ,,, , , bontása várható értékének első tagjára a következőt A z ( 5 7) e s ( 5 8) reszeredmenyek felhasznalasaval kapjuk: az (53) Bellman-egyenlet így írható: 7>0(X(1 M-l), = [\\ x(í 11- l)-d 11^ + 2 W I í - l) + ll U(í) + + ||0x(í i)_ d + pu(t) ||J |+i ) + 2 l)4>K(í)[HP(í i t-l)H r + +Ä 2(i)]K^)0T + s(<+l)]j. (59) A jobb oldal egy L(<) mátrix segítségével történő teljes négyzettel való kiegészítésével kapjuk, hogy 10(x(t 11- 1), t)= [|| x(í | í-l)-d I 2 + l<prs(<+])<í>+(t 1-L2'(<)[«í 2+rT*Q+i)r]L(o + II u(<)+L(Í)[X(Í ; < - i)-d]|| 2 +rTfKt+1) r + 2 QiP( <M1) + 2 D ahol i) (60) (61) A (60) kifejezésből szembetűnik, hogy arra az minőségszabályozási politikát, amely láthatóan álu(t) döntés tekintetében akkor kapunk minimu- i a ndó állapotvisszacsatoláson alapszik. Az L(í) mot, ha a második tag zérus, vagyis az*optimális irányítási mátrix (61)-el számítható, és a (32) Í2[ . | u *(t) irányítást ^ irányítási funkcionálját jelenti. Ezzel megkaptuk u*(<)= -L(<)[x(< | t-l)-d] (62) a z ( 53) Bellman-egyenlet (56) alakban keresett zárt adja meg. Ezzel tehát megkaptuk az optimális víz- megoldását, ahol tehát (60)-ból láthatóan: s (t)=0TS( t+i)0+ q l Q 2 + r T$(t +1) r]L(<) (63) s(í) = «(í+l)+ 2 QiP(«M-l)+ S(í+ 1)Í»K(Í).[I1P(Í 1 í— ÍÍII^ + ^^ÍIK^Í«)^. (64) Hátra van még az optimális irányítási politika — eddig feltett — létezésének igazolása. Az S(í) mátrix kezdeti feltétele nyilván: S(.ZV) = Q 0, hiszen az x(iV) végállapot elérésének fontosságát a Q 0 költségmátrixszal jellemeztük. Mivel Q 0 pozitív definit, így (63) rekurzivitásából következően a visszafelé számított S(í) mátrixok is pozitív definitek; továbbá (j„ is pozitív definit, tehát a (61)-ben szereplő inverzmátrix létezik. Másfelől triviális, hogy a végállapotra vonatkozóan az (55) minimum létezik, ós így visszafelé menve az összes IO( • )-nek létezik minimuma, vagyis: 3u*(í)€?7, V<€?'. Az optimális irányítás unicitása Kaiman egy tételéből [36] következik, amely azt a folyamat irányíthatóságához köti. A vízminőségszabályozási rendszer állapottér modelljének tárgyalásakor láttuk, hogy a folyamat irányítható ós megfigyelhető — ennek következtében az optimális irányítás egyértelmű. Az optimális irányítás során várható veszteséget lO( • )-ből számíthatjuk, hiszen u n£U />{</} = /O(x(í 0),í„)a Kalman-szűrő 2. táblázatban feltűntetett algoritmusánál az egylépéses a priori állapotelőrejelzés lesz. x(<+11 t)=0x(t\t)+ ru*{t) (66) (65) Az optimális vízminőségszabályozási politika algoritmusát és a várható minimális veszteséget a 3. táblázat foglalja össze. A feltételes előrejelzésnél most már a megelőző állapothoz tartozó optimális döntést is figyelembe kell vegyük, vagyis Az irányítás lényegéhez tartozik, hogy minden mintavétel után módosítjuk az N lépésre vonatkozó döntési stratégiát. Ezzel az adaptivitással tudjuk nyomon követni a biokémiai folyamatokban időközben bekövetkezett változásokat. Ebből következően a mintavételi időköz helyes megválasztásának igen fontos szerep jut — egy a statisztikus döntéselméleten alapuló módszert erre [77]-ben mutattunk be. Mivel a biokémiai folyamatok lassú dinamikájúak, számos szerző ökölszabályként napi négy mérést ajánl — ezt azonban esetenként helyszíni mérésekkel illik ellenőrizni. A (62) irányítási törvényből is kitűnik a nyilvánvaló tény: ha az a priori állapotelőrejelzés szerint a t időpontra elérjük a megkívánt d vízminőségi szintet, akkor az adott időpontban az irányítás zérus. E pillanatnyi stabil állapot után két lehetőség van: a vízminőség vagy negatív irányba változik (romlik), vagy jobb lesz
