Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)
11. szám - Szöllősi-Nagy András: Szochasztikus irányítási modell vízfolyások oxigénfogyasztásának folyamatos szabályozásához. II. rész
Szőllősi-Nagy A.: Sztochasztikus irányítási modell Hidrológiai Közlöny 1977. 11. sz. 473 A <V(. (49) definícióját alkalmazva a t+ 1 időpontra kapjuk, hogy min u(í+l) N-L min c5|||x<iV)-d||J i+ 2 [||x(r)-d||^ + ||u(r)||^]|i2j. T = t+1 Az (50) és (51) kifejezések összevetésével rO( . )-re a következő funkcionálegyenletet kapjuk: min u, 6 tf 4 1 X(í)_d + 11 U(< ) "{, + t+ 1 (51) (52) amely a dinamikus programozás híres Bellmanegyenletével azonos rekurzív egyenlet, és az optimumeZy 9 ) [5] következménye. A fenti egyenlet megoldása szolgáltatja tehát az optimális vízminőségszabályozási politikát. Mivel a <£« mérési vektor dimenziója az idő előrehaladtával egyre nő, az (52) alakú rekurzív egyenlet általános megoldása igen bonyolult — lenne, ha nem használnánk ki a rendszer struktúrája adta egyszerűsítési lehetőségeket. A Bellman-egyenlet megoldásához mindenekelőtt az \(t) és feltételes eloszlását kell meghatározni adott <2 t~i mellett. A mérési vektor (31) lánctulajdonságából következik, hogy a <2. t, adott <2. t-i feltételes eloszlásának meghatározásához elegendő a z(t), adottiZj^, feltételes eloszlásának ismerete. A (28) mérési egyenlet értelmében azonban, ezt az x(t), adott J2t_ l t _ A feltételes eloszlása is megadja, amely az x(í|<—1) feltételes várható értékkel egyértelműen jellemezhető — hiszen (46) szerint ez elégséges statisztika. Ezek szerint az (52) egyenletben helyére beA. vezethetjük az x(t\t— 1) feltételes várható értéket, s így a Bellman-egyenlet az alábbi alakot ölti: y-1 ~H){H(t | í-l),í) = <V(&t-i,t) = n™ £ ü&{||x(iV)-d||q 0 + £ [||x(*)-d|k+||ii(T)||^]|í(<|í-l)}, azaz W($(t 11-1), <)= „"^<5(11 x(t) -d ||+1| u(<) III +W(*(t+ 1 |t), t+1) | x(t |<—1)}, (53) amely — annak dacára, hogy bonyolultabbnak tűnik (52)-höz képest —, lényeges egyszerűsítést A jelent, hiszen x(.) dimenziója állandó. Esetünkben: dim X = 2, ami nagyságrenddel alatta marad a <2. t mérési vektor dimenziójának, vagyis a dinamikus programozás alkalmazásakor gyakorta fellépő — Bellman által a „dimenzió átkának" nevezett — problémákat egy szakasz optimalizálása során el tudjuk kerülni. Ahhoz, hogy az (53) egyenletet megoldhassuk, rögzítenünk kell annak kezdeti feltételét, ami tulajdonképpen egy végfeltétel a t = N választása miatt, tehát (53)-ból következően W(x(N | N-l), N) = — <5{|| x(iV) —d |x(# | #-!)}• (54) Az előző pontból emlékeztetünk arra, hogy x(N) — d A adott <ZN-V feltételes eloszlása normális x(N\N — — 1) — d várható értékkel és —1) kovarianciamátrixszal melyeket a Kalman-szűrő szolgáltat. Az F.2. Függelékben közölt elemi lemma segítségével (54)-re a következő kifejezést kapjuk: W(x(N | N-1),N) = = |tf-l)-d||» + V Q 0P(iV|Ar-l) (55) ami az (53) Bellman-egyenlet megoldása a t — N időpontban. A többi időpontra vonatkozó megoldásokra is hasonló gondolatmenetet követünk és feltesszük, hogy azok az (55)-höz hasonló W(Z(t 11- 1), í) = || X(< 11- l)-d II® +«(í) (56) t ( l' kvadratikus alakban állíthatók elő, ahol S(t) és s(t) még egyelőre ismeretlenek. A megoldást teljes indukcióval keressük meg, azaz feltesszük, hogy (56) érvényes t+ l-re, és megmutatjuk, hogy akkor érvényes <-re is. Az (53) funkcionálegyenlet ilyetén megoldásához tehát szükségünk van az x(í) — d és x(í-f l|í) —d, adott Ó?Í_D feltételes eloszlásaira. A tárgyalt feltételes állapotelőrejelzési algoritmus szerint x(í) — d, adott St_i, feltételes eloszlása normális x(í|í—1) —d várható értékkel és P(í|í — 1) kovarianciamátrixszal, vagyis az F.2. lemma ismételt alkalmazásával (53) első tagjára a következőt kapjuk: <5{|| *( t )-d = = || í(í I í- l)-d + V Q,P(í | í- 1), «1 ~ ( 5 7> ahol a jobboldal második tagja játssza (56) s(í)-jének szerepét. A (44) ós (38) formulák alkalmazásával, valamint most már az u (t) irányítási változó figyelembevételével, az x(< + 1 |t) feltétoles várható értékre, adott <2t-i mellett, az alábbi kifejezést kapjuk x(<+l | í)=®x(í|<-l)+Al(t)-^-^-0K(<)[z(<) - H*(í | í-1)]. Mivel a szögletes zárójelben levő v(t) innovációk zérus várható értékű gaussi fehér zaj folyamatot alkotnak, azok adott melletti feltételes eloszlása szintén normális, zérus várható értékkel és — könnyen belátható módon — HP(í|í - l)H r +R t(t) szórásnégyzettel, az x(í + 1 |t) statisztikája az
