Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)
11. szám - Szöllősi-Nagy András: Szochasztikus irányítási modell vízfolyások oxigénfogyasztásának folyamatos szabályozásához. II. rész
470 Hidrológiai Közlöny 1977. 12. sz. Szöllősi-N agy A.: Sztochasztikus irányítási modell A matematikai könnyen kezelhetőség érdekében ideiglenesen eltekintünk a (26) egyenlet második, irányítási tagjától. Ezt természetesen később ismét figyelembe vesszük. Tegyük fel tehát, hogy rendelkezésünkre áll a rendszer t £ T időpontbeli x(t) állapotára nézve a rendszer struktúrájának ismeretéből becsülhető A x(t\t — 1) egylépéses előrejelzés, másként: a priori becslés, amely a megelőző időpont mérési eredményét is magába foglaló <2.t-\ méréseken alapszik. Ha az állapotot a t időpontban kívánjuk becsülni, akkor ehhez az a priori becslésen kívül még a t időpontbeli z(t) új mérés is rendelkezésünkre áll. Természetes ezek után, hogy az \(t) állapot legjobb A x(t\t) a posteriori becslését e két bizonytalan információ valamilyen kombinációjaként keresnők. Kaiman erre az eljárásra az x(í | t)=íi(t)x(t | t-l) + K(/)z(<) (36) alakú lineáris kombinációt javasolta [35], ahol K(t) és K(t) idővariáns, egyelőre még ismeretlen, a két bizonytalan információt súlyozó mátrixok. A feladat éppen ezen súlyozó mátrixok megkeresésére, hiszen ismeretükben egy igen egyszerű rekurzív előrejelző algoritmust kapunk. Az előrejelzés során — bizonyos értelemben — minimalizálni kívánjuk az x(í | í) = x(< | t)-x(t) (37) állapotelőrejelzési hibát. A (28) mérési egyenletet (36)-ba helyettesítve és figyelembe véve a bizonytalanság fehér zaj jellegét, belátható, hogy a (36) becslés csak akkor torzítatlan, ha K(<) = I —K(í) H, ahol I az egységmátrixot jelöli. Némi átrendezés után (36) így írható: x(t 11) = x(t 11- 1) + K(í)[z(í)-Ilx(í 11- 1)] (38) ahol K(t) a még ismeretlen súlyozó mátrix 4 ), a szögletes zárójelben levő kifejezés pedig az ún. innováció, vagy felújítás folyamata melyet j>(í)-vel fogunk jelölni. Az innováció tehát annak mértékét fejezi ki, hogy az új mérés mennyivel járul hozzá az állapot a posteriori becsléséhez — mennyivel „újítja fel" az elmúlt méréseken alapuló a priori becslést. Bizonyítható [34], hogy az innovációk folyamata optimális becslés esetén fehér zaj típusú, azaz a v(í)-ben rejlő összes információt felhasználtuk a becsléshez. Elöljáróban annyit, hogy az innovációk központi szerepet játszanak a bizonytalanságok ismeretlen statisztikájának adaptív becslésénél. A (38) áliapotbecslés kezdeti feltételét — amikor t = t 0 — (33a) adja, hiszen x(í 0l t 0) = x(t 0). A (38) becslés „jóságának" mértékéül a (37) állapotelőrejelzési hiba P(.) kovarianciamátrixát tekintjük, melyet a hibavektorok diadikus szorzatának P(t\t) = S{x(t\t)xT{t\t)} (39) várható értéke definiál, s melynek kezdeti feltételét (33b) adja meg, hiszen P(í 0|í 0) =P(<„)- A (37) ill. (38) formulák (39)-be való helyettesítésével és némi elemi számolással belátható, hogy az x(<|<) kovarianciamátrixa az x(t\t— 1) a priori előrejelzési hiba —, melyet (37) értelemszerű módosítása definiál — kovarianciamátrixából az alábbi módon számítható: P(í ! t) — (I — K(í)H)P(í I <-l)(I-K(*)HF + + K(t)R. 2(t)líT(t), (40) A ahol R 2(t) a mérési bizonytalanság ismeretlen szórásnégyzetének egy becslése, melynek meghatározására a későbbiek során térünk ki. Az előrejelzési hibákhoz már most a következő kvadratikus alakkal megadott skaláris veszteségfüggvényt rendeljük: ^=<5{ii£(í|t)ii;}. (4i) ahol Q tetszőleges pozitív szemidefinit mátrix — az egyszerűség kedvéért legyen ez az egységmátrix: Q = I. A becslés féladata most már így fogalmazható: A keressük az x(t) állapot azon x(t]t) becslését — másszóval azt a K(/.) súlyozómátrixot —, amely minimalizálja a (41) várható veszteséget 5-' A J t veszteségfüggvény tulajdonképpen a hibavektor hoszszát méri. Láthatóan, J t a (39) mátrix 2^10 D nyomával (a fődiagonálisban levő elemek összege) egyenlő — itt és a továbbiakban a 2 operátor o a mögötte levő mátrix(ok) nyomának képzésére utal. A feladat tehát a becslés hibavektorának minimalizálása egy alkalmasan megválasztott Iv(£) súlyozómátrixszal. Lévén ez egy szélső érték feladat, a K(<) mátrixot a W? p(í|<)=0 (42 ) feltételből kapjuk. A mátrixok nyomára vonatkozó differenciálási szabályok 6' (40) egyes tagjaira való alkalmazásával a súlyozómátrixra az alábbi kifejezést kapjuk: K(<)=P(< 11- 1)H T[HP(£ 11-^RT+Rzit)]1 (43) amiről ismételt differenciálással könnyen belátható, hogy valóban minimalizálja a J t várható veszteséget. A súlyozómatrixot bevezetője után Kalmanmátrixnak is hívják. Most, hogy már ismert a K(t) mátrix, térjünk vissza a (38) állapot előrejelzésre. Nézzük mindjárt a jobboldal első tagját, az a priori becslést. A (26) modellben a w(í) bizonytalanság fehér zaj folyamat, s mivel ránézve semmiféle új információt nem szolgáltat a z(t) mérés, így a w(t) folyamat legjobb előrejelzése a saját várható értéke, vagyis zérus, minek következtében az állapotváltozó legjobb egylépéses a priori előrejelzése:
