Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)

11. szám - Szöllősi-Nagy András: Szochasztikus irányítási modell vízfolyások oxigénfogyasztásának folyamatos szabályozásához. II. rész

Szőllősi-Nagy A.: Sztochasztikus irányítási modell Hidrológiai Közlöny 1977. 11. sz. 471 varianciamátrixszal. Tehát a Kalman-szűrőt úgy is tekinthetjük, mint egy algoritmust feltételes eloszlások számítására. Megjegyzendő, hogy az állapot előrejelzés elvégzése során nem szükséges az összes mérési eredményt tárolni, hiszen a P és K mátrixok előre (offline ) kiszámíthatók — feltéve, hogy a bizonytalanságok A A Rj (t) ós R2 (<) kovarianciái egy adaptiv becslési eljárás során már „beálltak" tényleges értékükre és állandóak. Ennek értelmében az x(í + 1) feltételes eloszlása adott Sit mérések mellett egyértelműen meghatározott az feltételes várható értékkel. Jelölje / a feltételes sűrűségfüggvényt, akkor tehát az előzőek értelmében írhatjuk, hogy /[x(í+l)|<2,] = /[x(í + l) I Í(í+l'| É)] (46) ami azt jelenti, hogy a feltételes várhatóérték elégséges statisztika az x(í+I), adott Sít, feltételes eloszlására A vonatkozóan [91]. Másként: x(í+l|í) ismerete ekvivalens ismeretével — mindkettőnek ugyanaz az információ tartalma. Ez a megállapítás értelemszerűen kiterjeszthető az l =» 1 esetre is. A modell és mérési bizonytalanságok Rj(í) és R

t(t) kovariancia mátrixának ill. szórásnégyzetónek adaptív becslésére az irodalomban számos eljárás ismert. A legegyszerűbbnek Sage és Husa [68] szuboptimális adaptív becslési algoritmusa tűnik, amely az innovációk sorozatán alapszik és igen gyorsan konvergál az aktuális kovariancia értékekhez. Mivel a bizonytalanságok fehér zaj folyamatok, a kovarianciák legjobb a priori egylépéses előrejelzése a megelőző időponthoz tartozó a posteriori becslés: Ri(t I t- l) = Ri(t- 1 I í- 1), i= 1, 2. A 2. táblázat alján tűntettük fel a vonatkozó szekvenciális a posteriori algoritmusokat, ahol a jel a becslés 2. táblázat Az optimális szekvenciális előrejelzés algoritmusa Table. 2. Optimal sequential prediction algorithms (a) Dynamic system model (b) Measurement model (c) Initial conditions (d) Other assumption (e) A priori state prediction (f) Predicted error covariance matrix (g) Predictor gain algorithm (Kaiman gain) (h) A posterior state estimation using the new measurement (i) Error covariance matrix algorithm (j) Adaptive covariance estimation (k) Innovation sequence Dinamikus rendszermodell (a) Mérési modell (b) 21 X(t+ 1)= 0x(O + w(0, w(0~N(0, R,(0) z(0 = H

x(0 +"(0> u(O~N(0, «,(«)) Kezdeti feltételek (e) Egyéb feltétel (d) <5{x(í

0)} = x(í

0) cov (x(t

0), X(Í„)} = P«

0) 4«(Í)W 7(0} =0 A priori állapotelőrejelzés (e) Az előrejelzési hiba kovarianciamátrixának projekciója (f) A Kalman-féle optimális súlyozó mátrix (g) A posteriori állapotolőrejelzós (h) Az előrejelzési hiba kovarianciamátrixának számítása (i) x(t + 1 1 t) =» 4>x(t 1 t) P(í + 1 1 Í) = 0P (t 1 t)0T

+ R^í) K(í+1) =P(í+I |Í)HT[HP(Í+1 |t)H

T + Ä,i(i + l)r

i x(í+]. |t+l) = x((+l 1 t) + K(í + 1 )[z(í + 1) — Hx(í + 1 |t)] P(í+1 14 + 1) = (I — K(í + 1)H)P(<+ 1 1 0(1 — K({+ l)H)

r+ + K(t+ l)/í

2(í+ 1 )K^(í+ 1) Adaptív kovariancia becslés (j) Iti(0 = — [(* - 1) R.(í - 1) + K(t)v

T(t)v

T(t)K

T(t) + P(t \ 0 - <Z>P(<- 1 1 í- 1)<Z>

T)] A 1 A fí

2(t) = -J [(í - 1 )Ä

2(i - 1) + K0v

T(t) - HI'(í 11 - 1)ÜT] Innováció sorozat (k) v(t) = z(0 — Hx(í 1 í - 1) x(<+l I t) = 0x(t 11), (44) ahol: ahogy azt feltettük, az irányítási tagot még nem vettük figyelembe. Az állapotelőrejelzési hibák P(í|í) -P(í + l\t) továbbterjedését a P(« + 1 I t) = A{x(t+ 1 I f)x

T(«+ 1 I í)} kovariancia mátrixszal jellemezhetjük, melyet (44) és (26) figyelembe vételével P(<+1 I t) = 0P(t I 0<Z>

T+RiW (45) alakban kapunk, ahol azt a tényt is tekintettük, hogy a kauzalitás következtében az x(/|í) előrejelzési hiba és a w(í) modell bizonytalanság egymástól függetlenek. Ha a fenti formulákat a (44), (45) — majd egy egységgel megnövelve az időt, t helyére (f+l)-et írva, — (43), (38) és (40) sorrendben írjuk fel, akkor egy rekurzív előrejelzési algoritmust kapunk, melynek kezdeti értékeit (33a) és (33b) rögzítik, s amely szekvenciálisan adja meg a <=1,2, ... időpontbeli állapotok becslését Ez az algoritmus a magyar származású R. E. Kaiman által kidolgozott [35] híres Kalman-szűrő

a \ melyet itt a dinamikus vízminőségszabályozási modell sztochasztikus elemeinek analízisére fogunk alkalmazni. Az algoritmust teljes egészében a 2. táblázat tartalmazza. Mint említettük az állapotelőrejelzós feladata az x(í +1) feltételes eloszlásé,nak meghatározása, ahol a feltételt a Sít mérési vektor jelenti. Ez az eloszlás normális, A mely egyértelműen adott az x középórtékkel és P ko-