Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)

6-7. szám - Bukovszky György: Prandtl-állandó számítása a kinetikus gázelmélet segítségével

Hidrológiai Közlöny 1977. 6—7. sz. 271 Prandtl-állandó számítása a kinetikus gázelmélet segítségével BUKOVSZKY GYÖRGY' A Prandtl állandónak alapvető jelentősége van turbulens folyadék és gázmozgás számításában. Az áramlás törvényszerűségét leíró Navier—

Stokes differenciálegyenlet rendszer megoldása csak az egyszerűbb laniáris áramlás esetében sikerült. Turbulens áramlás esetében feltevésekre vagyunk utalva. Prandtl és Kármán feltárásán alapuló megoldások a mérési eredményekkel — a turbulens tartományon belül — teljes összhangban vannak. A Prandtl határréteg elmélet szerint a turbulens áramlás folyadék tere a fal közelében három tartományra osztható (1. ábra). A fal mentén egy nagyon vékony rétegben a mozgás lamináris jellegű. Ezt a réteget nevezzük lamináris hártyának. A lamináris réteghez csatlakozik az ugyancsak vékony átmeneti réteg, ahol a turbulens hatás a viszkózust már nagyságrendileg túlszárnyalja. Végül a kifejlődött turbulencia tartományban a viszkózus hatások a turbulens mellett ehanyagolhatók. Ebben a tartományban, de még a fal közelében, ahol még a nyíró feszültség jó közelítéssel megegyezik a fal melletti nyíró feszültség értékével, Prandtl alapvető feltevése szerint az alábbi összefüggés vezethető le: x

n— ox

2x

2 d« dz di> da;' ahol r

0 a nyíró feszültség a fal mellett, Q a folyadék, gáz sűrűsége, x a faltól mért távolság, v az áramlási átlag sebesség, x a Prandtl állandó. A differenciál egyenletet megoldva logaritmus összefüggést kapunk. Ezt az összefüggést Nikuradse mérései igazolták. A Prandtl állandó értéke a mérések szerint: *; = 0,36^-0,42 A Prandtl eljárás a mérésekkel egyező eredményre vezetett nemcsak a fal közelében, hanem attól távolabb is annak ellenére, hogy a TO = const feltevés itt már nem indokolt. A fal mellett viszont, a lamináris hártyában, a logaritmikus összefüggés teljesen értelmetlen. Kármán általánosabb összefüggést javasolt, amelynek érvényessége kiterjed a turbulencia teljes tartományára. A levezetés végeredménye, a Prandtl félével jó közelítéssel megegyezik. Az ebben szereplő k állandó értéke a mérések szerint az előzővel megegyezően: £ = 0,38 A tanulmány feladata a Prandtl állandó számítása. A Prandtl állandó, a feltevésekkel együtt, a Navier—

Stokes féle differenciál egyenlet rend* Közópdunántúli Vízügyi Igazgatóság, Székesfehérvár. © Lamináris hártya (l) Átmeneti réteg (J) Kifejlődött turbulencia tartománya 1. ábra. Turbulens áramlás sebesség eloszlása a fal mentén Puc. 1. PacnpedeAeHue CKopocmeü mypöyAeHmitoeo öeuOKenun ednAb cmeHKU Fig. 1. Velocity profile along the wall in turbulent flow szerből is levezethető, a meghatározás azonban körülményes [4], A kinetikus gázelmélet lehetőséget nyújt az állandó egyszerű számításához. A kinetikus gázelmélet szerint a szakadatlanul mozgó molekulák első megközelítésében semmiféle erővel nem hatnak egymásra. Mozgásukat egymástól függetlenül végzik, mindaddig, míg véletlenül össze nem ütköznek. Ilyenkor a rugalmas ütközés törvényei alapján számítható irányban folytatják pályájukat. A kinetikus gázelmélet segítségével igen egyszerű feltevések mellett is számíthatók mind a gázok törvényei, mind a jellemző mennyiségei. Például annak az egyszerű feltevésnek segítségével, hogy a gázok mozgásában kitüntetett irány nincs, a molekulák egyenlő eséllyel mozognak egy képzeletbeli kocka hat lapja felé, a gázok belső súrlódási együtthatójára az alábbi összefüggés vezethető le. Vo = Y Q

C ahol rj

0 a gáz belső súrlódási együtthatója, Q a gáz sűrűsége, A a molekulák közepes szabad út hossza, c a molekulák közepes sebessége. Pontosabb számításnál, amelynél már figyelembe vették a közepes szabad úthossz és a molekulák átmérője közötti összefüggést is r?o = 0,499e-c-A. A kinetikus gázelmélet szerepe éppen abban van, hogy a legegyszerűbb feltevések is kvalitative