Hidrológiai Közlöny 1976 (56. évfolyam)
2. szám - Dr. Roller Béla–dr. Nagy Tamás–dr. Györgyi József: Szivárgási áramképek vizsgálata véges elemek módszerével
Dr. Roller B.— dr. Nagy T.— dr. Györgyi J.: Szivárgási áramképek Hidrológiai Közlöny 1976. 2. sz. 79 Figyelembe véve, hogy Ii=Xi—yi ctg aj r)i = í/j/sin aj és bogy a láncszabály szerint 9 <p dx dip 9 y 9 <p di + 9 <p dy 91 dx 9 cp 9s + dr/ dx 9 <p dV (3.4) (3.5) 9l dy ' dv dy a (3.2) alatti integrandusban 3 d<fi \i 77= Zj g\ j q' j' 1 í 3 9<pi v 1 j'= J adódik, itt (3.6) 1 1 = — (fx-. 2 = 0 Í/.C,, :Í = 4 (li í7v •, í = ctg a» r/i/ ;,3= bi cos a.i — (ii bi sin a» (libi sin a» (3.7) (A (3.7) alakú állandók bevezetése nyomán a (3.2) alatti integrálokat kvadratikus alakzatokkal adhatjuk meg. Mátrix-formában •/i = í*{ J {kxxgxpt + hvZv^APtyi (3. F. 8) ahol '(pi, í 'ífaj, i" •gy v r q>2,i <7^,2 II •t» fee 9v v 2 <P3,i 9' i3 ff»? 3 (3.9) a gg* jelölések pedig két vektor diadikus szorzatát jelentik. Röviden (3.10) (3.11) J i — fí K?'tí Illetve (3.2)-ben J= ^ f*Kifi= min! A minimum szükséges feltétele grad J = £ 4r {í»*K;íi} = 0 (3.12) Vagyis a potenciálok megállapításának feltételei egyenletrendszere 2 K,f» = 0 (3.13) i Mivel (3.7) szerint a g-mátrixok elemei egy-egy háromszögben állandók, ezért egy-egy K,; ellenállási mátrix alakja Ki = (iihi sin Xi{k x x% xß. + /-,,„g ;„ .g,*} (3.14) A (3.13) egyenlet felírása, illetve a (3.14) mátrixok összegyűjtése végett a szivárgási tartományt háromszöghálóval borítjuk be. E célra például alkalmas kiindulás egy olyan poligonális koordinátaháló, amelyet szakítás és gyűrés nélküli transzformációval téglalap-hálóba lehet átvinni (2. ábra). 2. ábra. Háromszög alakú elemekre felosztott szivárgási tartomány Puc. 2. 06Aacmb 0uAhmpaifuu, pa3óuman na mpeyzoAbiibie dMMenmu Fig. 2. Seepage field divided into triangular elements Ha a leszívási görbét kiválasztottuk, és itt a nyomásegyensúly feltételét kívánjuk teljesíteni, akkor az ábrán látható tartomány jobb oldali és felső kontúrján a 1' peremértékei adottak. A másik két kontúron, amennyiben azok áramvonalak, a normál deriváltra vonatkozó feltétel azt jelenti, hogy a perem pontjait a tartomány belső pontjaiként kell kezelni. A (3.13) egyenlet együtthatómátrixát a háromszögek ellenállási mátrixaiból összegyűjtve, majd 2x2 blokkra bontva K u f belső + K j af per = 0 ("5 1")) Ki'" 2fbelsö+ K 2 2fper = r adódik, itt (p pe i az ismert peremértékek, <pbeisc5 pedig a többi, ismeretlen potenciálértékek vektora, r ugyancsak ismeretlen. A rendszer megoldása f belső = — K^' • K 1 2fper ^ r = (K 2 2-K*Kr 1 1K 1 2)! Per A (3.13) rendszer gyakorlati megoldásakor a számítógépben nem kell átcsoportosítást és blokkokra bontást végeztetni. • Mivel tényleges feladatok esetén többszáz hálózati csomópont is előfordulhat, a programozáskor az adatokat automatikusan generáljuk. A feltételi egyenletrendszer szimmetrikus sávmátrixát soronként állítjuk elő és mágneslemezre visszük. A mátrix szélességét a számozással igyekszünk minimumon tartani, és csak a jobb felső háromszögében levő fél szalag adatait tároljuk. így aránylag gyorsan és gazdaságosan sikerül a számítást megszervezni. 4. A leszívási görbe numerikus meghatározása A töltés alatti szivárgás feladata abban különbözik a membrán alakjának meghatározásától, hogy a leszívási vonalon két peremfeltételt is ki kell elégíteni, viszont maga a vonal alakja ismeretlen. Ez súlyos elvi nehézség, mert megszünteti a probléma lineáris jellegét. Áthidalására az irodalmi tájékozódás után iterációs utat választottunk. Kezdeti hálózati osztást készítettünk, amely figyelembe veszi a talaj rétegződését és a szivárgási tartomány felső vonalául a magasabb vízszint vonalát jelöli ki. A valóságos leszívási görbe ennél lejjebb helyezkedik el. A feltételezett leszívási vonalon elfogadtuk a második kerületi feltételt, de eltekintettünk a nyo-
