Hidrológiai Közlöny 1976 (56. évfolyam)

2. szám - Dr. Roller Béla–dr. Nagy Tamás–dr. Györgyi József: Szivárgási áramképek vizsgálata véges elemek módszerével

Hidrológiai Közlöny 1976. 3. sz. 78 Szivárgási áramképek vizsgálata véges elemek módszerével Dr. ROILEK BÉL A'— Dr. NAGY TAMÄ S*—Dr. QYÖRGYIJÓZSEF* 1. Bevezetés A BME Építőmérnöki Kar Mechanika Tanszéke az OVH megbízása alapján kutatást folytatott a szivárgásnak nagy teljesítményű számítógépeken történő, hatékony numerikus vizsgálatára. A munka indít éka az volt, hogy az ilyen irányú számításokat újabban a véges elemek módszerével bonyolít ják le, ebben pedig a Tanszék számítógéppel dolgozó kollektívájának bő a tapasztalata. Feladatunk, amelyet a BME Vízépítési- és Vízgazdálkodási Intézet kísérletei nyomán bonyolítottunk le, a partoldalak, töltések és kutak permanens szivárgási jelenségeinek konkrét numerikus vizsgálata volt. A permanens szivárgás kérdései közül főleg a szabad felszínű, síkbeli szivárgás potenciáleloszlásának, valamint a síkbeli feladat áram vonal-meghatározásának kérdésével foglalkoztunk. A továbbiakban tájékoztatást adunk munkánk módszeréről és eredményeiről. 2. A síkbeli, permanens szivárgás potenciáleloszlása A szivárgási feladat klasszikus vizsgálata során az áramlás kontinuitásának kinematikai egyenletéből és a szivárgási ellenállás Darcy-féle fizikai egyenletéből indulunk ki. Ilyen módon, szivárgási szempontból homogén, anizotrop talaj esetében a kiindulás dv

x . 3Vy dx Qy = 0 v

x = Vy--\kx d (p dx d <p dx + k

x dy dy (2.1) (2.2) Itt <p(x, y) a nyomási potenciál, v

x(pc, y) és v

y(x, y) pedig a sebességvektor komponensei. Ha a (

kxx k

Xy\ k

Xy ky,J szimmetrikus szivárgási tenzor komponensei állandók és főirányai egyeznek a koordinátatengelyekkel, akkor a szivárgás alapegyenlete w kx d

2<p dx

2 + ky dy

2 (2.3) E differenciálegyenletnek a kerületi feltételek figyelembevételével történő numerikus megoldására igen célszerű a véges elemek módszere. 3. A potenciáleloszlás meghatározása a véges elemek módszerével A véges elemek módszerének ma már kiterjedt irodalma van, és e módszer a számítási eljárások egész körét foglalja magába. Ezért a továbbiakban vázolt eljárást közelebbről kell specifikálnunk. Mivel ez egyszersmind alkalmas a membránok alakjának elmozdulásmódszerrel való meghatározására is, mozaik-elmozdulásmódszernek nevezzük. A szivárgási tartományt véges számú elemre (esetünkben háromszögekre) bontjuk. Egy-egy há* Budapesti Műszaki Egyetem. romszögön, amelyet úgy választunk meg, hogy ezen belül a szivárgási együtthatók változása elhanyagolható legyen, és főirányaik egyezzenek a háromszöghöz rendelt derékszögű koordinátarendszerrel, a potenciálra nézve feltevést teszünk. A feltevés szerint a potenciál a sarokponti ordinátáknak (lineáris) függvénye. A (2.3) egyenlet helyett a variációszámítás alapelvei szerint a / M^M-t-fk--'^ feladat megoldását tűzzük ki célként, az eredeti kezdeti feltételek betartásával. Ha a tartományt N számú mozaikelemre bontjuk, (3.1) közelebbi alakja - é f p. = min! (3.2) Itt <pi(x, y) az i-edik mozaikelemhez rendelt, előírt feltevésfüggvény. Ezeknek alkalmazásával a J funkcionál a tartományi felosztáspontok (sarokpontok) ordinátáinak függvényévé válik, és a variációszámítási kérdés szélsőértékkeresési feladattá redukálódik. A feltételi egyenletrendszer a sarokponti cp-értékekre nézve lineáris, együtthatómátrixa pedig a tartományi háromszögek rendszeres egymáshoz csatlakozása miatt szalag alakú. Együtthatóit az egy-egy háromszögön belül megállapítható elemi ellenállási mátrixokból kiindulva, ezek összegyűjtésével érdemes megállapítani. Egy-egy háromszögelemen az oldalak által meghatározott, helyi ferdeszögű koordinátarendszert alkalmazunk, felírjuk a mátrixot, majd ezt derékszögű rendszerbe transzformáljuk (1. ábra). A lineáris feltevés-függvény { ai fay' fi( Si, '< i u% '(3.3) Itt cpi,i, (p2, i és (ps,az ismeretlen, sarokponti potenciálértékeket jelzi, mégpedig az i-edik háromszög helyi számozási rendszerében. 7. ábra. A helyi ferdeszögű ( í, TJ) és a derékszögű (x, y) alaprendszer össze függése Puc. 7. B3auM0C6H3b Mecmiioií KOCoyeoAbiwü (£, tj) ii npxMoyeoAbiioű (x,y) cucmeM Fig. 1. Relationship between the local oblique (I;

, y) and the basic orthogonal (x, y) system of coordinates