Hidrológiai Közlöny 1976 (56. évfolyam)
10. szám - Dr. Bogárdi István–Dr. Szidarovszky Ferenc: Játékelmélet alkalmazása a vízminőség gazdálkodásban
Dr. Bogárdi I.— Dr. Szidarovszky F.: Játékelmélet alkalmazása Hidrológiai Közlöny 1976. 10. sz. 457 Ennek a célfüggvénynek az alakja is lehetővé teszi az oligopol játék alkalmazását. 1.3 Vízminőség gazdálkodás A vízügyi hatóság kiterjedten alkalmazza a gazdasági ösztönzőket a vízminőség előírt szintjének fenntartására. Egy város jJéldáját vesszük, amely központi szennyvíztisztító teleppel rendelkezik. A város ipari üzemei akkor használhatják ezt a telepet, ha bizonyos tisztítási díjat fizetnek a városnak. Mennyi legyen ez a díj, ha azt akarjuk, hogy mindegyik üzemnek érdemes legyen a szennyvizet tisztíttatni ? Az oligopol játék szerint történő vizsgálat ebben az esetben is segít. Legyen ugyanis Xi az i üzem által a központi szennyíztisztító telepbe juttatott szennyezés mennyiség, cp(2Jx;) a fajlagos tisztítási díj és Li az i üzem haszna azáltal, hogy az Xi szennyezést ilymódon távolítja el (például a saját szennyvíztisztító telep megtakarítása). Ekkor mindegyik üzem esetén felírhatjuk a tiszta eredmény maximalizálásának célfüggvényét, amely ebben az esetben is az oligopol játék alapegyenlete : Li(Xi) — ^(Zx,-) — max. (3) 1.4 Többcélú vízgazdálkodási rendszer Egy vízgyűjtőn vagy más területegységű vízgazdálkodási rendszerben a vízgazdálkodás fejlesztése révén különböző igényeket kell kielégíteni. A leggyakrabban előforduló igények: vízellátás, árvízvédelem, öntözés, víz minőségvédelem, vízparti üdülés stb. A vízgazdálkodási rendszer fejlesztési költségeit szét kell osztani a különböző hasznosítók között. Vizsgáljunk egy tározó rendszert, Exí tározó térfogattal. Legyen az i vízhasználók által hasznosított tározott vízmennyiség x{, a vízgazdálkodási rendszer kiépítési költsége K(Uxí) és az i vízhasználó gazdasági eredménye Li, az Xi tározott vízmennyiség révén. Ekkor mindegyik i vízhasználó tiszta eredményét az alábbi célfüggvény szerint lehet maximalizálni: fji{xi) K(ÜXi) —max. (4) ZjX% Ennek az oligopol játéknak a megoldása megadja a vízgazdálkodási rendszer optimális nagyságát '(ÜXi) és mindegyik vízhasználó által hasznosítható X{ tározott vízmennyiséget. Megemlítjük, hogy a Hajdúhátsági Többcélú Vízgazdálkodási Rendszer elemzése során használt célfüggvény [7] is visszavezethető az oligopol játék alakjára. A felsorolt alkalmazási példákban a döntés alapjaként kizárólag gazdasági célt vettünk figyelembe. A valóságban a vízgazdálkodási döntéseket számos egyéb — műszaki, társadalmi és politikai tényező befolyásolja. A helyes döntés meghozatalát a gazdasági optimum megállapítása azonban mindenképpen elősegíti. A következő fejezetben az oligopol játék matematikai megoldását mutatjuk be. 2. Az olipogol játék és megoldása Az itt bemutatott valamennyi problémában egy speciális alakú kifizetőfüggvényekkel rendelkező játék egyensúlypontját kell meghatároznunk. Ez a játékelméleti feladat az ún. oligopol probléma. Az általános, n-személyes oligopol játék a n Vh(x 1,X 2, . . ., x„) = x kf^ ^ -Kic(xk) (5) i= 1 (k= 1,2, n) kifizető-függvényekkel rendelkezik, és a játék megoldása olyan x*, x*, . . ., x* stratégia n-es meghatározását jelenti, amelyre k=l, 2, ..., n esetén fennáll, hogy yj k(x*, . .., x*, . . ., x*)ä= y> k{x*, . . ., x k, . .., x*); (x k*x* k) (6) Tehát az egyensúlypont olyan stratégia n-es jelent, amelyre valamennyi játékos kifizetőfüggvénye külön-külön optimumot szolgáltat. Alkalmas differenciálhatósági és monotonitási feltételek teljesülése esetén az oligopol játék megoldhatóságát Szidarovszky [8] vizsgálta ós számítástechnikailag is jól kezelhető eljárást adott az egyensúlypont megkonstruálására. Ugyancsak Szidarovszky [9, 10] foglalkozott az oligopol játék ún. csoportegyensi'ily problémájával, amikor a játékosok csoportokba tömörülnek és nem egyéni optimumra, hanem csoportjuk optimumára törekednek. A csoport egyensúly problémának főbb definíciói és az alapvető matematikai eredmények megtalálhatók Szép és Forgó könyvében [II] is. Az oligopol játék csoportegyensúly problémája abban az esetben, amikor valamennyi csoport egyetlen játékosból áll, a klasszikus oligopol problémát adja meg. Abban a másik szélső esetben pedig, amikor valamennyi játékos egyetlen csoportot alkot, együttes maximumra való törekvést jelent. A Szidarovszky által javasolt módszert [10] a klasszikus esetre mutatjuk be a függelékben. A csoportegyensúlypont meghatározására szolgáló eljárás alapelve ezzel megegyezik, csak a számítások több lépésből állnak. A következő fejezetben a vízminőség gazdálkodás' területéről mutatunk be gyakorlati példát az oligopol játék alkalmazására. 3. Regionális vízminőség gazdálkodás példája Egy folyószakaszt vizsgálunk, amely mentén tetszés szerinti számú vízszennyező (város, ipar, mezőgazdaság) található. A szennyvízhozamot (qi) 10 3m 3/nap dimenzióban fejezzük ki és az egyes vízszennyezők szempontjából állandónak tekintjük. A szennyvíz minőségét BOI vagy KOI töménységgel jellemezzük 10 4 mg/l dimenzióban. A vázlatos rendszert az 1. ábra tünteti fel. A döntési változó minden egyes szennyezőre az í/ t- KOI, amelyet tisztítás révén eltávolít és ezzel a befogadót mentesíti. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes szennyezők szempontjából mekkora legyen a tisztítással eltávolított KOI, yi, hogy minél nagyobb gazdasági eredményt érjenek el (vagy ami ugyanaz, hogy káruk a legkisebb legyen).
