Hidrológiai Közlöny 1976 (56. évfolyam)
1. szám - Kontur István: Hidrológiai rendszervizsgálati modell vízhozamidősor előállítására (II. rész)
18 Hidrológiai Közlöny 1976. 1. sz. Kontur 1.: Hidrológiai rendszervizsgálati modell lejtő alakok tipikus oldalterhelés-lefolyási hullámkép lefutásokra adnának értékes felvilágosítást. A felszín alatti vízmozgást itt nem vizsgáltuk, de 3. pontban leírtakhoz teljesen hasonlóan elemezhető. 5. Paraméter-becslés a sztochasztikus folyamatok elemzési módszereivel Az eddigi tárgyalás során, csupán a vízgyűjtőterület topológiai tulajdonságairól és a lefolyási sebesség — idő — valószínűségi változóként való felvételéről volt szó. A 3. pontban kiegészítettük ezt a beszivárgás és a párolgás figyelembevételével. Minden esetben egységnyi csapadékot képzeltünk el a í t = 0 időpontban. Feltételezéseinknek megfelelően lineárisnak tekintjük rendszerünket, így a szuperpozíció elvét kihasználhatjuk. Végeredményben a (16) és (31) összefüggés az egységárhullámképet adja meg, melyet a tényleges csapadékidősorral szorozva és összegezve a lefolyó vízhozamidősort kapjuk: i, y{ti)= f e(T)•*(«!-T)dr (45) o ahol y(íj) a tényleges, mért lefolyás vízgyűjtő mm-ben. x^y) a tényleges, mért csapadék idősor mmben. Amint az a (16) és (31) képletekből is kitűnik a csapadék területi eloszlása is figyelembe vehető. A (45) konvoluciós integrálból a Q^j) — tényleges adatokból számított rendszerjellemző függvény különböző eljárással határozható meg [12]. A csapadék és a lefolyás közötti kapcsolatot az optimális — a négyzetes eltérést minimalizáló — előrejelző függvényt a Wiener-íé\e extrapolációs elmélettel a Wiener— Hopf integrál egyenletből kaphatjuk [13]. Végeredményként (45)-hez hasonló konvoluciós egyenletre jutunk, de x(t) helyébe x autokorrelációs függvényét: y(t) helyébe az x és y keresztkorrelációs függvényét: (p x y(ft)-t kell írni: o <P**(#) = J Öopt(R) -T) dr (46) o A (45) vagy (46) egyenlet mindkét oldalának Fourier transzformáltját véve egyszerű szorzássá alakul át a konvoluciós integrál: Y(z)=Q(z)-X(z), (47) « oo y(2)= f y^.e^dt,, (48a) oo X(z)= f X{ h).e^dt v (48b) Q(z)= f QítJ-e'^ dí 1 ( (48c) 0 x v(z) = H(z)-0 x x(z), (49) <t>x«(z) = J <p x v(ö)-e-i*» d&, (50a) — oo & x x(z) = J <p x x{ö)-e-i*» d0, (50b) — oo H(z)= J Öopt(r) • dr , (50c) j — a komplex egység (a terület futóindexével való összetévesztés elkerülése végett). Mivel i= 1,2, . . . N számú részterületre ismerjük x(t x) idősort: a;« 1»^), a* 2»^), ..., a*')^), .. .x( N)(t x), valamint a rendszer jellemző függvényeket: • • Wi). • i), y(h) lefolyási hullámkép elemekből tehető össze: N U y(ti)= 2 / W-«®(íi-T)dt. (5i) i= 1 o A viszonylagos területnagyság az integráljel elé vihető, valamint g(i, gamma sűrűségfüggvénnyel helyettesíthető (16) összefüggést véve tekintetbe: N A F r x J g(i,h)-xHh-T)dr. (52) i= 1 0 Amennyiben a vízgyűjtőterület egyes pontjain más és más csapadékidősorral számolunk, akkor ún. megosztott paraméterű, vagy több-bemenetű (multi-input) rendszerrel állunk szemben ennek megoldási lehetősége tanulmányozható Bendat és Piersol könyvében [14]. Itt erre nem térünk ki. A (47—48) kifejezéseket figyelembe véve a AFi • Óm(z) függvények összegét, (49—50) képletek szerint az optimális előrejelző függvényhez AFi- H^i(z) függvények összegét kell képezni. Amennyiben elfogadjuk a 2. fejezetben leírt összegyülekezési modellt, Í2w(z) megegyezik i7<')(z)-ve], vagyis a gamma függvények Fourier transzformáltjaival: Y{z)_ vji . 1 _ p <M Z ) /~ox A jobb és bal oldali közelítés teljesen lineáris rendszer esetében nem tér el egymástól, különben az optimális előrejelző függvény paramétereit a jobb oldalból kaphatjuk. Az (53) kifejezésben szintén X = 1 választással éltünk, az ismeretlen ri, j, a komplex egység. (53)-ban Y(z)\X(z) és <Pay(z)/<P«e(z) is komplex számokat jelentenek, melyek grafikusan ábrázolhatók (Nyquist-diagram [13]), ugyanígy a szumma jel mögötti kifejezés. A diagramból például grafikus közelítésből kaphatjuk fi-t. Ismeretes az a tétel [6] [7], ha létezik a f valószínűségi változó a/c = M{£ic} momentuma, akkor létezik minden z-re <p(z) fc-adik deriváltja:
