Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)

2. szám - Kontur István: A hidrológiai körfolyamat sztohasztikus modellje

86 Hidrológiai Közlöny 1975. 2. sz. Kontur /.: A hidrológiai körfolyamat Általánosan: -yS+k) y

2(t + k) Q V k ~yi(t) ~ y/t) yi(t+k) yi(t) x^t + k) x

2(t + k) u p xS) x

2{t) Xm{t "1" k) — tömörebben: í) Jc — (1 2) Y (t + k) Q V Y (t) (2 l) (1 1) \(t+k) u p \(t) (1 m) _ _ _ (m Könnyen felfedezhető a Markov láncok analógiája. A rendszer csak az előző állapotától függ. A két állapotú Markov-láncok analógiáját felhasználhatjuk, ha F és S vektorokat egy-egy állapotnak fogjuk fel. így a (8) képlettel jellemzett mátrix k. hatványa az alábbi — általánosítva Parzen eredményét — feltéve, hogy | Q + P — E | < 1 ahol E — az egységmátrixot jelöli. Mivel a vízhozamidősor meghatározása, vagy előrejelzése a cél, ezért elég csak Y (t) idősor figyelemmel kísérése (9a). Megmutatjuk, hogyha ismerjük a rendszer állapotát (S) valamely t

0 időpontban X(0) = X

0, és a t időpontot megelőző, szegmensen bekövetkezett változásokat Y(t— 1), Y(t—2),..., Y(t—n)=Y(t

0), akkor Y(t) meghatározható. Induljunk ki (9a)-ból és használjuk fel (9b)-t, majd rekurzív módon folytassuk a felírást: Y(í)= QY(í — 1) + VX(<— 1) = QY(í— l) + YUY(í—2) + YP(< —2) = QY(í— 1) + YUY(£—2) + VPUY(£ —3)4-t-VP

2(í —3) k Y(t)= Q -Y(í— 1) + 2 V P^1-U-Y(t—j— 1) + j=i + Y-P*-X(í-£-l). (17) Abban az esetben, ha k^n- 1 és X(í —w) = X(0) = X

o, akkor (17) az alábbi alakot ölti: Y(/) = Y-P

n1-X

0+ QY(í— 1) + n —1 + 2 V.P^ÜY(í-j-l). (18) Y(t) megadja a határoló felületeken az állapotváltozás valószínűségének idősorát. A hidrológiai körfolyamat szimulációja (18) alapján úgy végezhető, hogy különböző Y

0 induló állapotokból állítjuk elő Y(t) idősort, úgy, hogy Y(t) idősor vektor egyes elemei yi(t), yi{t), . . .yi(t) véletlen zajok, vagy determinisztikus jelsorozatok. Ezek a példákban: a légtér nedvességtartalmának változása [f/

x(í)], ami lehet véletlen Gauss-folyamat y

1 várható értékkel és 0y

i szórással, valamint a felszín alatti szegmensen a ki- és beáramlás [y

2(t)~\, amit például determinisztikus szinuszos jelsorozatnak vehetünk éves periodicitással. Az eredmény y

3(t) idősor lesz, ami a vízhozam y

3 szegmensen. Az előrejelzés különböző időelőnnyel szintén egyszerűen figyelembe vehető. Az előrejelzést adjuk ki (< — k) időpontban Y(í) meghatározására, akkor (18) egyenletünk az alábbi formát ölti: »—í Y(<) = V •P"1-X

0+ 2 V-P^-U-Y^-j-l). i=k-i (19) Mivel t— (t — k) időszak alatt is változik Y(t), ha Y(í— 1), Y(t—j)... Y(t— &)-ra nincs előrejelzésünk, akkor a legjobb becslést az alábbi képlettel kapjuk: k Y(Í) = V-P'

11-X

0+ÍQ+ 2 Y-P^-uj • E{Y(í)} + J = I n —1 + ^ V-P^-U-Y (í-i-1), (20) j=k-l ahol E{Y(í)} az Y(í) idősor vektor egyes elemeinek várható értékéből alkotott vektor: E{Y(í)} = (£i,£2, ...,yi). A fentiekben valószínűségekről beszéltünk és ez a vízrészecske állapotváltozásait és helyzetét határozta meg, ezzel szemben minket víztömeg, vagy vízmennyiség érdekel. A /

0 = 0 időpillanatban a rendszer egyes állapotaiban összesen legyen Me víz, akkor X

0 vektorban Mx\, Mx

2, . •. Mx

m számokat írunk. Továbbá, a t= 1, t = 2,. . .t = t— 1 időpontokban a szegmenseken legyen N

v N

2, . . . N

t-1 mennyiségű víz e egységben: akkor az új Y(l) = = (ViNi, y

2N

x • • •), Y(2) = (y

xN 2, y

2N

2, ..., y

tN

2) és így tovább; Y(t- l) = (y

1N

t_

1, y

2N

t_

x, ... yiN,^). Mint látható a vízmérleg egyensúlya minden időpillanatban azonosan teljesül. 4. Idő-inliomogén hidrológiai rendszerek Mint ismeretes, a hidrológiai rendszerek általában változnak az időben. A napi és évszakos változás mindig jól követhető periodikus függvénnyel. A több éves változás, és az emberi beavatkozás hatása már nehezebben írható le. De jól érzékelhető, — korábbi példánál maradva — hogy a párolgás (w

u), vagy a beszivárgás (/)

1

2), lefolyás (w

1

3) valószínűségei nem állandóak. (A talajnedvesség hatását s

2 állapot figyelembe veszi.) A növényzet, az évszak változásával, a vízrészecske állapotváltoztatásának valószínűségei szintén változnak, ez azt jelenti, hogy tt

u (t), u

1

3(t) és így tovább való-