Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)
2. szám - Kontur István: A hidrológiai körfolyamat sztohasztikus modellje
Hidrológiai Közlöny 1975. 3. sz. 77 A hidrológiai körfolyamat sztochasztikus modellje* KONTUR ISTVÁN" A mérnöki gyakorlatban jól ismert a hidrológia tárgyának meghatározása: a hidrológia a víz földi körforgásával foglalkozó tudomány. A víz földi körforgásának legtöbbször egy-egy részét teszik vizsgálat tárgyává a kutatók. A vízmérleg, vagy a vízháztartási egyenlet, pontosabban az anyagmegmaradás, a folytonossági egyenlet, olyan alap összefüggés, amit mindig sikerrel alkalmazhatunk. Tanulmányunkban a víz körforgását fogjuk vizsgálni, általános modellt mutatunk a víz körforgásának leírására. A vízmozgás törvényszerűségeit valószínűségi törvények fogják leírni, nevezetesen az állapotátmenet valószínűségi mátrix. A folytonossági egyenlet szerepét, az átmenet valószínűségi mátrix sztochasztikus volta fogja betölteni. Először néhány fogalmat, definíciót közlünk, majd több példán keresztül mutatjuk be elképzelésünk alkalmazhatóságát. 1. Alapfogalmak I. A vízrészecske A víz hidrológiai körfolyamatát a vízrészecske mozgásával fogjuk jellemezni. Itt a vízrészecske nem köznapi használatban elterjedt fogalomként értendő, hanem a vízrészecske: elemi egység, kicsiny, tovább nem osztható (atomi) rész, valamilyen térfogat egység, ami lehet X cm 3, X liter, X m 3, vagy bármilyen más, általunk egységnek választott térfogat (X-tetszőleges). Az így eleminek választott vízrészecskét jelölje: e. II. Szegmensek Amikor a víz körfolyamatát, vagy a vízmérleget vizsgáljuk, akkor azt a föld, a légtér egy meghatározott és jól — értsd szabatosan — körülhatárolt területén végezzük. Ezt a körülhatárolást hivatottak a szegmensek betölteni. De megjegyezzük, hogy a szegmensek annyival jelentenek szélesebb osztályt, amennyivel a geometriai lehatároláson túlmenő szegmensek is elképzelhetők. Az utóbbiaknak nincsen geometriai interpretációja. Jelölje r vektor r(yi, yi, 73 . . . yi) a lehatárolásokat úgy, hogy yi, y 2, ... yi teljesen körülzárja a vizsgálandó teret: yiUy 2U ... ö yt = JE, (1) (olvasd: y v y 2, ... yi uniója egyenlő az egységgel). Ezenkívül r<nw=° i,j=i,2,...,i, (2) vagyis yi, yj szegmensek egymást át nem fedők. III. Állapotok A másik lényeges fogalom, hogy a vízrészecske rendszeren belüli tartózkodási helyét meghatározzuk. Ezt a meghatározást hivatottak szolgálni az állapotok. Az állapotok annyival jelentenek széle* 1973. évi Bogdánfy pályázaton II. díjat nyert tanulmány. * * BME Vízgazdálkodási és Vízépítési Intézet, Budapest. sebb osztályt a geometriai helymeghatározásnál, amennyivel több állapot is van, mint amennyi a vízrészecske hollétének megállapításához szükséges. Például hó, és ugyanott olvadt hó, vagyis szó szoros értelemben állapotot jelölünk. Megjegyezzük, hogy az állapotoknak az ilyen értelmű szélesebb osztálya lehetőséget ad arra, hogy a hidrológiai körfolyamatnak ne csak a menynyiségi oldalát, hanem a vízminőség változását is modellezni tudjuk. A jövőbeni kutatásoknak ez roppant fontos területe. Jelölje S vektor (sí, s 2, . . . s m) a vizsgált térséggen belül az állapotokat. Legyen si Us 2U • • • ös m = E, (3) továbbá S»T|SÍ = 0 i,j= 1,2 m. (4) Az állapotok és a szegmensek definíciói együttesen fizikailag azt jelentik, hogy a lezáró szegmensek teljesen zártak (1), és átfedés nincs (2), másrészt a belső térben minden lehetséges állapot meg van nevezve (3), de az állapotok mind megkülönböztethetők (4) [10]. Másképpen, annak valószínűsége, hogy a rendszerbe belépő (kilépő) vízrészecske a yi, y 2, .. ., yi szegmensen érkezik (távozik) egyenlő a teljes bizonyossággal : 1 ^P(7\yi)= 1 (5) i = l ahol Y — a belépés (kilépés) eseményét jelenti. Továbbá annak valószínűsége, hogy a rendszeren belül tartózkodó vízrészecske, vagy az s v vagy az •s 2, . . ., vagy az s m állapotban van egyenlő a teljes bizonyossággal: rn ^P(X\sj)=l (6) J=1 ahol X — a rendszeren belül tartózkodás eseményét jelenti. Az (1)—(4), illetve az (5), (6) egyenletek úgy is olvashatók, hogy sem a rendszer határfelületén, sem a rendszeren belül nincsenek sem források, sem nyelők. Vagy ha mégis lennének, akkor azokat szegmensek és állapotok nevezik meg. IV. Az idő A vízrészecske mozgásának leírásához rögzíteni kell az idő fogalmát is. A vízrészecske t\, í 2, ... t n időpillanatokban változtatja állapotát, illetve végez mozgást. Legyen ti < í 2 < • • • < t n, valamint egyszerűsítsük tovább az időpillanatok rögzítését úgy, hogy t i-t i_ 1=At=l i = 2,3,...» (7)
