Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)

2. szám - Kontur István: A hidrológiai körfolyamat sztohasztikus modellje

78 Hidrológiai Közlöny 1975. 2. sz. Kontur /.: A hidrológiai körfolyamat vagyis így elegendő az időpillanatokat 1, 2, ... n számokkal jelölni. Ha az idő egysége At\T~\, akkor a vízrészecske e[L

3] egységének ismeretében a vízhozan egysége: e[L3] /lí[T] V. Állapotok változása. A mozgás A következőkben rögzítjük a vízrészecske mozgását. A vízrészecske minden t\, ti, ... t

n időpillanatban Pij valószínűséggel léphet az i állapotból, a j állapotba, ahol az állapot a rövidség kedvéért, szegmenst is jelenthet. Vagyis yi, .. ., yi és s

v ..., . . ., s

m, (l + m) számú állapotból léphet yi, ... y; és «i, ... s

m, (l + m) számú állapotba a vízrészecske. Írjuk ezt fel az alábbi hipermátrixba: r s r s Q! v u I P (8) ahol Q — (ÍXZ)-es kvadratikus mátrix qa elemekkel, és a kilépés (belépés), valamint a másik szegmensbe való átlépés valószínűségeit tartalmazza, P — (to X m)-es kvadratikus mátrix pa elemekkel, és belső állapotból másik állapotba való átlépés valószínűségeit tartalmazza, U — (mXl)-es téglalap mátrix, mj elemekkel ós a belső állapotból szegmensre történő átlépés valószínűségeit tartalmazza, V — (ZXm)-es téglalap mátrix vij elemekkel és a szegmensekről belső állapotba való átlépés valószínűségeit tartalmazza. Jelölje Y(t) vektor (í/i, t/

2> • • - Vi) annak valószínűségét, hogy a vízrészecske a t időpillanatban a yi> 72) • • • > yi szegmensen tartózkodik y\,yi, • • - ,yi valószínűséggel, továbbá jelölje \(t) vektor (x

v x

v . .., x

m) annak valószínűségét, hogy a vízrészecske a t időpillanatban az s%, . . . s

m állapotban található x

v x

v. . ., x

m valószínűséggel. Ha ismerjük a (8) képletben felírt Q, P, U, Y hipermátrixot, akkor Y(t), X(t) ismeretében Y(t + 1) és X(t +1), vagyis a vízrészecske t + 1 időpontbeli tartózkodásának a valószínűsége meghatározható: Y(<+1)=Q-Y(<) + Y-X(0 (9a) X(í+ 1) = U • Y(<)+P • X(<) (9b) Ezek a képletek a továbbiakban döntő jelentőségűek lesznek. A (8) mátrix sztochasztikus mátrix, vagyis l m 2 2 Vi

i=

l i=

1'

2 1 (10a

) i=i j=i 1 *= 1.2, , m. (10.b) i=i lezzük, hogy A

7 számú vízrészecske mozgástörvénye, állapotváltozásainak valószínűsége megegyezik egyetlen vízrészecske állapotváltozásainak valószínűségével, vagyis rendszerünk lineáris. Ez azt jelenti, hogy ha az i. szegmensen t időpillanatban N számú vízrészecske található, akkor a t + 1 időpillanatban qij. N számú vízrészecske kerül aj. szegmensre és va • N számú vízrészecske kerül a k. állapotba, aholi, j= 1, 2, . . . I, ésk= 1, 2, . . . m. Ugyanígy, ha t időpillanatban az i. állapotban N számú vízrészecske található, akkor a / +1 időpillanatban Pij-N kerül át a j. állapotba, és um-N a k. szegmensre, ahol i,j= 1,2 ... mésk= 1,2, . . . I. Mivel 0 S qij, Vij, Uij, f>ij = 1 minden i-re, j-re, ezért az N tömegű víznek csak tört része megy tovább. VI. Gráf reprezentáció A hidrológiai körfolyamat eddig leírt modelljét szemléletesen lehet gráfokkal bemutatni. A sztochasztikus mátrixok gráf reprezentáció ja és a gráfok mátrixos felírása közötti analógia jól ismert. A gráfcsomópontok jelentik az állapotokat, és szegmenseket. A gráfélek a vízrészecske mozgási irányát jelentik, vagyis az átmeneteket. la ábra. A természetes hidrológiai rendszer körülhatárolása Puc. la OnpedeAemie (fiu3imecKux npedejioe npupoÖHoeo ziidpoAoeuiecKoeo yuKAa Fig. la Delineation of the natural hydrological cycle Gráfreprezentvció In Mint korábban említettük (10a, b) a folytonossági egyenletet foglalja magába, vagyis a vízrészecske nem vész el és nem keletkezik. Az egyetlen vízrészecske állapotváltozásainál minket jobban érdekel egy bizonyos víztömeg, N egység, N számú vízrészecske mozgása. Feltételb ábra. A hidrológiai rendszer teljes gráfreprezentációja Puc. 16 íloAHaíi penpe3eumai{im eudpoAoeunecKoü cucmeMbi c ucnoAb3oeanueM epatfioe Fig. lb Complete graph-representation of the hydrological system