Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)

9. szám - Iritz László–Szöllősi Nagy András: A vízgiénykielégítés mértékének becslése hagyományos módszerrel és sztochasztikus szimulációval

390 Hidrológiai Közlöny 1975. 8. sz. Iritz L.—Szöllősi N. A.: A vízigények kielégítési biztonsága I. 5. ábra. A Tisza tiszabecsi szelvénye periódusmentes standartizált idősorának autokorreláció-függvénye Puc. 5. AemoKoppejifiifuOHHaH <pynKi)uti öecnepuodnoao, cmaHdapmu3upo6aHiweo epeMeHHoeo psida e cmeope Tucaßei Ha peKe Tuce (1) MeCHUbl Abb. 5. Autokorrelationsfunktion der periodenfreien standardisierten Ganglinie des Tlieissprofils bei Tiszabecs (1) Monat ségek fizikai „hátteréhez" (a vízgyűjtőn lejátszódó késleltetett folyamatokhoz pl. tározáshoz stb.), ugyanakkor igen könnyű paramétereik becslése. Egy stacionárius idősor A/í-modellje a következő: « !(<)= ^ a<|(í-i)+ e(t) (20) i— 1 ahol q a modell rendszáma, az i-edik autoregressziv paraméter, e(t) pedig független-azonos eloszlású valószínűségi változó (reziduum v. maradéktag), amely független a |(t — i), i— 0, 1,2, ..., q értékektől. A (20) Aft-modellt szokás még y-ad rendű Marlcov-modellnek hívni. A q rendszám tulajdonképpen azt mondja meg, hogy a rendszer hány időegységet „emlékszik" vissza (pl. ha í = = augusztus és q= 2, akkor — hónapos időegységet feltételezve — a júniusi középvízhozam szerepet játszik az augusztusi középvízhozam kialakításában, de a májusi már nem). Az autoregressziv paraméterek legkisebb négyzet értelmű becslése az alábbi Yule—

Walker egyenletből nyerhető [1]: 1 (1) . 1)1 «1 5(1) 1 . Q(q2) «2 0(2) 0(2) (1) • • e(g3) «3 = 0(3) e(<7-i) Q(q-2) • . . • 1 Ctg 0(7) ahol q(í) az i-edik autokorrelációs tényező. Tehát az elsőrendű ^4Ä-modell (vö. [20] amikor q = 1): |(í) = a

1l(<-l) + £(í) (22) és (21)-ből következően az «i AR paraméter az egylépéses autokorrelációs tényezővel egyenlő, % = = 0(1). Másodrendű Ji?-modell: |(í) = a

1l(í-l) + a

2l(<-2)+e(í) (23) ahol _ g(i)[i-e(2)] i-e

2(i) _

[g(2)-g»(l)]

» (24) 2

_ l-g

2(l) A paraméterek becslése után a reziduum statisztikáját a következő — reziduális — idősorokból tudjuk meghatározni (v.o.: [22] és [23]); elsőrendű modellre: e(í)=|(í)-a

1l(<-l) (25) másodrendű modellre: e(t)=H(t)-aiW-l)-a^(t-2) (26) vagyis a (19) idősor hátrafelé történő „átlapolásából". A modell q rendszámának megválasztása aQuenouille-próbával[ 12] történik. A tiszabecsi elsőrendű reziduumok idősorát [25] szerint állítottuk elő a periódusmentes standartizált idősorból. Példaként a 6. ábrán bemutatjuk a tiszabecsi szelvény havi középvízhozamainak és az elsőrendű reziduumainak idősor részletét, és a 7. ábrán az utóbbi idősor autokorrelációfüggvényét. Az 5. táblázat az elsőrendű reziduumok (észlelt) statisztikai paramétereit tartalmazza. Az elsőrendű reziduumok autokorreláció-függvényéből számítottuk a (27) statisztikát, amely mindkét esetben kedvező eredményt adott, tehát azt, hogy a tiszabecsi és záhonyi reziduális idősorok elsőrendű AR-modellel leírhatók. A reziduumok függetlenségét a Wald— Wolfowitz próbával-, a homogenitásukat a Szmirnov—Kolmogorov próbával igazoltuk. A következő lépés a mesterséges reziduális idősorok előállítása — hiszen pontosan azért kerestük