Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)
9. szám - Iritz László–Szöllősi Nagy András: A vízgiénykielégítés mértékének becslése hagyományos módszerrel és sztochasztikus szimulációval
388 Hidrológiai Közlöny 1975. 9. sz. Iritz L.—Szöllősi N. A.: A vízigény-kielégítés idő, amelynél a korrelációfüggvény szignifikáns lokális maximumot mutat az egyben kijelöli a periódus időt is [9]. A korreláció-függvények becslésénél jelentkező — a mintavételezésből származó— bizonytalanságok azonban kizárják a kisebb frekvenciájú periodikus komponensek kimutatását — már pedig azok figyelembe nem vétele meghamisítja a periodikus komponens kiszűrését és egyben kétségessé teszi a véletlen komponensre „illesztendő" modell értékét. Ezért finomabb perióduskimutató eljáráshoz kellett folyamodjunk. Erre a feladatra a spektrum függvénye k alkalmasak [11]. Ismeretes, hogy egy idősor 0 X X( •) spektrumfüggvénye előállítható <t>> oo ,</)= / -iinfrdf (?) alakban — tehát mint a korrelációfüggvény Fouriertranszformait]a —, ahol / frekvenciát, eltolási időt jelöl. Mivel az autokorreláció függvény páros, kimutatható [1], hogy a (8) spektrum valós és nem negatív, és az alábbi módon becsülhető: m 0„(f) = 2[ 1 + 2S Q*Ák)W(k) cos 2nfk\ (8) 0^/^0,5 0,2 ' 0,3' " 0,4 f (frekvencia) (2) 3. ábra. Az idősor spektrum függvénye Puc. 3. <t>yHKifUH cneKmpa/ibHOÜ njiomHocmu epeMeHHoao psida (1) roflbi, (2) qacroTa Abb. 3. Spektrumfunktion der Ganglinie: (1) Jahr, (2) Frequenz függvény konfidencia sáljának segítségével határozhatjuk meg, amely CL[k x(f)] P=xp(r)lr (») ahol y = 2njk az ekvivalens szabadságfok, n az idősor diszkrét .értékeinek száma, k az frekvencia indexe, a megkívánt szignifikáncia szint, % p(y) a y szabadságfokú khi-négyzet eloszlás p-hez tartozó értéke. A tiszabecsi szelvény idősorának spektrális vizsgálatát mutatja be a 3. ábra, melyből kitűnik — az 1 éves alapharmonikus és felharmonikusain kívül — a 1,5 és 3 ill. a 1,5 és 5 éves periódusok jelenléte. Ezek tehát azok a periódusok, amelyeket ki kell szűrnünk az idősorokból. 2.2.2. Periodicitásvizsgálat és kiszűrés. A periódus kiszűrés alapelve az, hogy a periódusokat úgy képzeljük el mint harmonikus függvények szuperpozícióját. Tehát a periodicitásvizsgálat és kiszűrés a Fourier-féle harmonikus sorfejtésen alapszik. Ha ismert a p alapharmonikus — amely a spektrális analizis végeredménye — (legyen az most az algoritmus bemutatásának egyszerűsége kedvéért 12 hónap), akkor az idősor (a trendmentes idősor) elemei a következő mátrixba rendezhetők ahol a W(k) az ún. spektrálablak, amely a becslés torzítatlanságát, van hivatva elősegíteni — esetünkben a Tukey-ablak nyert alkalmazást.Megjegyzendő még, hogy — a Nyquist-féle mintavételi tétel következményeként — a spektrumot nem szükséges a teljes frekvencia-sávon becsülnünk, hanem csak az/,.= l/2 At határfrekvenciáig, ahol esetünkben a At= 1 hónap jelenti a mintavételi időt. Az idősor szignifikáns harmonikusait a spektrumX, Xp+1 X p + 2 x, X, Xp Xi v X$ v Xr, (10) ahol N az évek számát (ill. nem éves alapharmonikusnál az évek száma és az alapharmonikus hányadosát) jelenti. A P(t) periodikus komponens p „időnként" ismétli saját magát, P v P 2,. . ., P v értékekkel. Ha képezzük az egyes oszlopok átlagait, legyenek ezek X 2,...X P, akkor belátható, hogy ezek approximálják a Pi értékeket. Ezek után felírva a P(t) periodikus komponens Fourier sorát, azt kapjuk, hogy 8 p(t) = A 0+ £ Utcosfc—^-+B ksmk ——1 (11) k = 1 ^ ^ ahol az Ak, B k Fourier együtthatók: . 2 i^t „ 2nk A k~— > X r cos y p p ' r= 1 2 v . 2nk Bk = — X r sin y P es (12) (13) (14) r=l
