Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)
5. szám - William Metler–Dr. Lucien Duckstein–Dr. Bogárdi István: A Balaton vízszintszabályozása gazdasági tényezők figyelembevételével
W r. Metler —Dr. L. Duckstein —Dr. Bog árdi I.: A Balaton vízszint. Hidrológiai Közlöny 1975. 5. sz. 197 A fizikai modell Osszuk fel a tó kerületét j= 1, 2,. . ., B számú partszakaszra. Jelen tanulmányunkban B = 8 (1. ábra). Definiáljuk a szél eseményt kétórás átlagmérés eredményeként az x = (i, u) vektorral és legyen ennek eloszlásfüggvénye F x(x), ahol i egy véletlen szélirány és u egy bizonyos küszöbérték feletti véletlen jellegű szélsebesség (legyen a küszöbsebesség 30 km/óra). Egy ilyen szél esemény valamelyik j partszakaszon az alábbi vízszintemelkedést okozza: ha(j, x)=h 3(j, x)+h w{j, x). (1) Tulajdonképpen a h s(j, x) és h„(j, x) valószínűségi változók értékei fontosak számunkra. Azonban a h w(j, x) hullámmagasságra vonatkozó észlelés sorozat csupán a tó egyetlen pontján áll rendelkezésre (Balatonszemesen, 2. szakasz), tehát a szél eseményeket kell, mint másodlagos adatokat felhasználunk, hogy a h s(j, x) és h w(j, x) valószínűségi folyamatokat jellemző függvényeket kiszámítsuk. Ezek a jellemző függvények a következők: 1. a h w(j, x) események F w(j, w) eloszlásfüggvénye, 2. a h,(j, x) események F,(j, s) eloszlásfüggvénye és 3. a í hónapban az előfordulások számának, M(t) sűrűségfüggvénye. A hd(j, x) dinamikus vízszintemelkedés eloszlásfüggvényeit úgy kapjuk, hogy az (1) egyenletben szereplő két valószínűségi változót komponáljuk, de közben figyelembe vesszük, hogy h, függ a h w- tői. Mivel az x=(i, u) szélesemények észlelési adatai adottak a tóra, bármilyen t hónapra a h w(j, x) és h s(j, x) eseményeket az alábbi módon számolhatjuk : 1. Az átlagos vízszint feletti hullámmagasságot úgy kapjuk, hogy Muszkalay és Starosolszky által 1966-ban megadott tapasztalati képletet [5], amely a hullám amplitúdóra vonatkozik, felezzük: Mi, x) = hJJ, i, «) = 2)°' 72 5 (2) ahol: a (j> i) a j partszakasz és az i szélirány függvényében megadott állandó és u a szélsebesség (km/óra). 2. A h s kilendülés értéke a h s és h w közötti regresszióból számítható. Az összefüggéshez felhasználjuk a siófoki mérési adatokat, valamint Ligeti László hasznos gyakorlati tapasztalatait. Ezt a regressziót az alábbi alakban írhatjuk fel: Ä» = & 0 +V'to + fi ( 3) ahol: e a véletlen jellegű hiba, amelynek eloszlásfüggvénye legyen F e(x). Mivel feltételezzük, hogy hullámzás nélkül vízszintemelkedés nem lép fel, a (3) egyenletben a b 0 tényező zérus lesz. Minden egyes x eseményre tehát az alábbi egyenletet kapjuk: h„(j, x, e) = VM j> + e ( 4) Ha nincs szignifikáns regresszió a szélokozta hullámzás és a kilendülés között, akkor a kilendülés eseményét két különböző módon vehetjük figyelembe : a) Felhasználjuk azt a tapasztalati összefüggést, amelyet tényleges vízlengési adatokból Muszkalay állapított meg 1966-ban [6]: J = 0,038< l' 4(w r— 2,8) ha a<22,5° J=0,0105< 1/ 4(Mr+ 13,5)-0,16 ha a >22,5°, (5) ahol: J a kilendülés által megváltoztatott vízszint esése [cm/km], t a szél időtartama órákban és u r = u- cos «, a tó hossz-tengelyére redukált szélseség [m/s]. Figyeljük meg, hogy az egyenlet a szél időtartamát is figyelembe veszi. b) Ilyen jellegű tapasztalati egyenlet hiányában általános, de ennek következtében eléggé közelítő képlet alkalmazható, mint pl. az USA-ban tározók vízszint kilendülésének számítására javasolt képlet [3]: ahol: J a vízszintesés [láb/mérföld], u a szélsebesség [mérföld/óra] és D az átlagos vízmélység a meghajtási hossz mentén [mérföld]. 3. A ha dinamikus vízszintemelkedés eloszlásfüggvényét a (4) egyenletnek az (1) egyenletbe való visszahelyettesítésével kapjuk: h d(j, x, e) = (b 1+l)h w{j, x) + e (7) 4. A t hónapban a dinamikus vízszint az x eseményenként az alábbi: H(j, t) — H(j, t, x, e) = g(t) + h d(j, x, e) (8) ahol: g(t) a statikus vízállás a t hónapban. A következő részben a gazdasági modell elemeit mutatjuk be. A gazdasági modell Minden egyes j partszakaszra és t hónapra definiálhatjuk az yk(j, t) eseménynek megfelelő kárfüggvényt, yk(H(j, /)). A j partszakaszon a havi összes dinamikus vízszint esemény által okozott ossz kárt Y(j, t) úgy kapjuk, hogy a véletlen nagyságú károk N(t) véletlen előfordulási számát összegezzük. Ezután az egyes partszakaszokra kapott károkat összeadjuk. A véletlen nagyságú károk összege tehát a j szakaszra a következő: Y(j, t) = y i(j, t) + ... +y mt )(j, t) (9) így Y(j, t) eloszlásfüggvényét szükség esetén meghatározhatjuk. Feltételezzük, hogy az yic(j, t) értékek függetlenek és azonos eloszlást követnek és a továbbiakban az y(j, t) jelölést alkalmazzuk. Ennek alapján számolhatjuk Y(j, t) várható értékét : E[Y(j, t)] = F[N(t)]E e, x{y(j, t, x, e)}, (10)
