Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)
4. szám - Dr. Reimann József: Árvizek jellemző adatainak matematikai statisztikai elemzése
158 Hidrológiai Közlöny 1975. 4. sz. Dr. Reimann J.: Árvizek jellemző adatai Kzínűségi változó feltételes eloszlásfüggvényét azon a feltétel nélküli várható értékkel egyenlő: feltétel mellett, hogy egyáltalán van túllépés a C t szint felett: E[Z(í)] = -^ V W S i • d-®) 2 Az E[Z(í)] várható érték közelítő kiszámítására yH{x)\ 1 (v = k) könnyen származtatható alsó, illetve felső korlát. /, 1 v Az alsó korlát származtatásánál elegendő figyeP(v=-0) ' lembe venni, hogy az évi legnagyobb túllépések Amennyiben várható értéke nem kisebb, mint az összes túlléfí(x)—l — e~P* pések várható értéke, azaz ha a túllépések expo~ ' nenciális eloszlásúak II ß várható értékkel, akkor továbbá . V(v=k )=WL e. u > (1.W) K ! akk o r A felső korlát származtatásánál vegyük figyelembe az FAx)= e~ X"~ ß'r (1.2) 1 +4+ • • •+T~ l n (*+l)-y-oanrt. 1 — e~ M ahol 0 < y < 1 (az Euler féle constans y = 0,577.. .), Látni fogjuk, hogy a Tisza folyó esetében azegyes vagyis minden esetre fenn áll, hogy evek adott negyedeveben eszlelt maximális tnllepesek ° ehhez a feltételes eloszlásfüggvényhez igen jól illeszked- , 1.1 . .1 , ,, t n . „ nek. T T ''' +y= sl nv«+ + A Ismeretes, hogy amennyiben az X v X 2, . .., Xv továbbá: valószínűségi változók [exponenciális eloszlásúak, In (&+(& = 0, 1, 2, ...), F(x)= 1 —e~P x eloszlással, akkora tehátö^vx*, s 2=(v-i)(x*-x*y (1.3) ß írí k - ní * valószínűségi változók függetlenek, és exponen- is.—^- f ^ j k + 2 ^ ^ ' ^ j — ciális eloszlásúak 1//3 várható értékkel (és 1//J 2 szó- P L jt=.i ' " rásnégyzettel). „ «1. «2 , , & +—•••+ TTTT' ( L 4) M+2(l—e~ u) * v v-1 v-k+1 E[Z(f)] = M + e ' . (Mi) következik, hogy P j . j ^ ^ . A Z(t) maximális túllépés szórásnégyzetének kiE(X*) —[ 1 h ... -1 1 (1.5) számítása meglehetősen komplikált. Könnyű viß \ v v—1 v — k+1) szont kiszámítani a Z(t) változó feltételes szórásazaz négyzetét azon feltevés mellett, hogy a túllépések k száma adott, továbbá feltételezve a túllépések E[Z(í) I v=k~\ = — y 1 —. (1.6) exponenciális eloszlását. ß Ekkor: »=í k Továbbá : W[Z(t)\v=k]=j2%±. (1.12) I ' J p D\Z{t) | v=^ = j 2 2J -jf • (1-7) A z (í ) maximális túllépés feltétel nélküli szórás1= 1 négyzete az alábbi összefüggésből számítható exMinthogy a feltételes várható érték várható érteke ponenciális eloszlás esetében: Dwn-vwqi «uMi •]--£{£ [t b{t T-" £ ttZ T)1TT} Általában nincs szükségünk a bonyolult formula vagyis kiszámítására, mert a fenti esetben egyszerű felső TV 77m korlát adható a szórásnégyzetre: ' '' * Qß JWZUW^ n (1 14) Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban az árvízvédelmi ' * '' ^ ' ' szempontból érdekes C szintet általában olyan magasra
