Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)

4. szám - Dr. Reimann József: Árvizek jellemző adatainak matematikai statisztikai elemzése

Dr. Reimann J.: Árvizek jellemző adatai Hidrológiai Közlöny 1975. 4. sz. 159 választjuk, hogy kevés évben fordul elő egynél több túllépés, ezért ü[Z(t)]zs 1/ß jó becslés a szórásra. 2. Valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolat vizsgálata A Z(t) maximális túllépés eloszlásának származtatásakor feltettük, hogy az X

v X

2 X, túllépések függetlenek és egyforma eloszlásúak. Erről természetesen statisztikai vizsgálattal meg kell győződni. Egyik lehetőség erre a Wald—Wolfowitz-féle próba, amely a szériális korreláción alapszik. Képezzük a megfigyelt X

v ..., Xv változók Z

x> X— v számtani közepét, majd az X'Í=XÍ-X (i= 1,2,'...,») sorozatot. Ezután kiszámítjuk az »-1 R= ^^ X'iXí

+i + XÍX[ (2.1) i = l statisztikát. Bevezetve az «=1 jelölést, az R valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete az alábbi formulákkal számítható ki: a 2 o D

2(i?)= 4 + Sí— 2 S, v-l ' (v-l)(v-2) (v-l)

2 Ezután képezzük az R-E(R) (2.2) a2 0

2 (2.3) a* n(B) (2.4) r _í 1. h£ X~\0, hí 7 - í l> h

£ •"~lo, h

£ 1, ha ha I>a; 1, ha Y~zy ha Y^y (2.5) (2.6) 1-a 2. ábra. Az X és Y valószínűségi változók között fennálló Y = <p(x) monoton csökkenő függvénykapcsolat esetén J/A = <P(X

1_

0L), ahol y*z az Y változó eloszlásának x-kvantilise, .r, _ct az X változó eloszlásának (1—a) — kvantilise Fig.2. If the steadily decreasing functional relationship Y=<p(X

) exists between the random variables X and Y, then y

a—<p(x

i_

a

), where y<x is the a-quantile of the distribution of the distribution of the random variable Y and is the (1—a) quantile of the distribution of the X variable o(X

x, Y

y) = E(X,-Y„)-TH(X

x)V(Y

y) D(X*)D (Y

y) H(x,y)-F(x)G(y) V F{x)l\-F(xmy)[ 1-0(2/)] (2.7) Jelöljük Xci-val az X változó eloszlásának a-kvantilisét, azaz legyen x

a az a szám, amelyre F(x

a) = a továbbá legyen y

a az a szám, amelyre G(y

a) = * Ekkor — lso

a= H(x

a,y

a)- a.

2 a(l-a) ;1 (2.8) standardizált változót, amely aszimptotikusan normális eloszlású, így | R * | >2 esetén elvetjük a függetlenségre vonatkozó hipotézist. Tekintettel arra, hogy R* kiszámítása meglehetősen fáradságos, egyszerűbb módszert javaslunk a valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolat vizsgálatára. Legyenek X és Y folytonos valószínűségi változók F(x), ill. G(y) eloszlásfüggvényekkel és H(x, y) együttes eloszlásfüggvénnyel. Vezessük be az X

x Y

y indikátor — változókat a következő módon: Amennyiben o

a>0, azt mondjuk, hogy az X és Y valószínűségi változók között pozitív asszociáció van. Ekkor a.

2rsH(x

a, í/

0)=sa Könnyű belátni, hogy H(x

a, í/a) = pa-a + (l-pa)a

2 (2.9) (2.10) adott (x, y) értékpárra. Számítsuk ki az X

x és Y

y változók korrelációs együtthatóját. A (2.7) összefüggésből közvetlenül látható, hogy ha X és Y függetlenek, akkor o

u = 0. Amennyiben X és Y között monoton függvénykapcsolat van, Y = <p(X), akkor g

a=l. Ugyanis ha Y = q>(X) (ahol y = <p(x) monoton növekvő függvény) akkor a-P(r<^

a)=P[

(

p(Z)<y

a]=P[Z<«

r%a)] (2.11) Azonban P(X<x

a)=a, ígv cp1(y

a) = x

a, vagyis y

a=(p(x

a) Ebből következik, hogv ha X és Y között monoton