Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)

4. szám - Dr. Reimann József: Árvizek jellemző adatainak matematikai statisztikai elemzése

Hidrológiai Közlöny 1975. 3. sz. 157 Árvizek jellemző adatainak matematikai statisztikai elemzése Dr. EEIMANN JÓZSEF« A dolgozatban az árvízvédelmi szempontból fontos Tisza folyó szélsőséges árvíz-csúcsaira vonatkozó matematikai statisztikai elemzést ismertetünk. A kutatás a Budapesti Műszaki Egyetem Építőmérnöki Karának matematikai tanszékén törtónt a Vízügyi Szervezés- ós Számítástechnikai Iroda megbízásából. A téma célja a folyók adott időtartam alatti, bizonyos — árvédelmi szempontból érdekes — G szintet túllépő árhullám csúcsai számának, a túllépések nagyságának, — az évi maximális túllépések nagyságának, valamint a túllépések időtartamának statisztikai törvényszerűségeit feltárni, ami árvédelmi szempontból jelentős előrelátást tesz lehetővé. Vizsgáljuk a túllépés nagysága és időtartama közötti sztochasztikus kapcsolatot, s kapcsolat szorosságának mérésére, és a regressziós görbe megszerkesztésére egyszerű módszereket ismertetünk. A vizsgálatok során alap-adatsornak a Tisza folyó 71 évre vonatkozó napi vízállásértékeit tekintjük Tokaj, Szolnok, Tiszafüred, Tiszaiig és Szeged vízmércéin mérve Célunk a vízállás-adatsorban rejlő információ kiolvasása több, — bennünket érdeklő — valószínűségi változó eloszlására vonatkozólag. Ennek megfelelően az alkalmazott kutatási módszer elsősorban matematikai statisztikai jellegű. A kutatás főbb eredményei az alábbiakban foglalhatók össze. 1. Elméleti eloszlások árhullámokra vonatkozólag Vizsgáljuk először valamely folyó adott helyen felvett hidrográfjának egy választott C szintet meghaladó árhullám-csúcsai számának és nagyságának valószínűségeloszlását valamely (0, t) időintervallumra vonatkozólag (1. ábra). A (0, t) intervallumnak minden év ugyanazon időszakát (pl. minden év első negyedévét, vagy minden év második negyedévét) választjuk. A C szintet árvédelmi meggondolások alapján választjuk meg, de minden esetre olyan magasnak gondoljuk, hogy a túllépés valószínűsége viszonylag kicsi legyen, (pl. 0,10— 0,15). Az X

v X,,, ..., Xv túllépéseket folytonos független, azonos eloszlású valószínűségi változóknak tekintjük. A (0,1) intervallumban észlelt túllépések száma: v maga is valószínűségi változó, (v természetesen diszkrét eloszlású) Az egyes túllépések időtartamai (az az időtartam, amely alatt a víz ismét visszatér a C szint alá (legyenek Y

v Y

2, .. ., Y

v. Az időtartamokat ugyancsak független, egyforma eloszlású valószínűségi változóknak tekintjük.) A gyakorlati alkalmazásul ismertetett illusztratív példában ezt statisztikailag igazoljuk). * Budapesti Műszaki Egyetem, Építőmérnöki Kar V

j J V

4 A*

y / y

1 * w y3

v ih "v/ y

v x 0 t 1. ábra. Valamely folyó adott helyen felvett vizállás-görbéje a (0, t) időintervallumban. C árvédelmi készültségi szintet meghaladó X

l

t X„, . . ., X

v értékek a túllépések nagyságát, az Yj, !F,, . . ., Y

v értékek az egyes túllépések időtartamát jelölik Fig.l. Stage Hydrograph in the time interval [0, <] for a particular gage on a given river. The values X

l

t X

2. . ., X

v indicate the magnitude of exceedances beyond the flood warning stage c, while F,, Y

2. . ., Y

v denote the duration of the individual exceedances A v valószínűségi változóra vonatkozólag E. Zelenhasic kimutatta, hogy általában időben inhomogén Poisson — eloszlást követ. Vizsgálataink szerint, abban az esetben, ha a (0, t) intervallumnak minden év ugyanazon negyedévét választjuk, akkor v homogén Poisson — eloszlású, azaz P(v=k)J-^eu ahol Xl a (0, t) intervallumban észlelt túllépések várható száma. Ugyancsak E. Zelenhasic azt találta, hogy az X

v X

2, ..., X

v túllépések általában gamma — eloszlásúak (speciális esetben exponenciális eloszlást követnek [2]. Magyarországi viszonylatban, a Tisza folyó esetében azt tapasztaltuk, hogy a túllépések exponenciális eloszlásúak, azaz H(x) = \—e~P

x eloszlásfüggvénnyel jellemezhetők. Legyen most Z(t)= sup {X

l

f X

2 X,} a (0, t) intervallumban észlelt legnagyobb túllépés. A G szint a vízállás értékeket szelektálja, így X

v X

2, ..., Xv véletlen — elemszámú statisztikai minta, amelyet ha nagyság szerint rendezünk az x*<x*

2:X* véletlen elemszámú rendezett mintát nyerjük, amelyre könnyen belátható, hogy ha az egyes Xi valószínűségi változók közös eloszlásfüggvénye: H (x), akkor P (X*^») = [H(x)f Következésképpen: V[Z(t)<x\ v=k-] = [H(x)f Véleményünk szerint az évi legnagyobb túllépés eloszlásról csak akkor érdemes beszélni, ha egyáltalán van túllépés. Jelöljük F

t(x)-szel a Z(t) való-