Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

2. szám - Kontur István: Sztochasztikus hidrológiai rendszermodellelk

87 Hidrológiai Közlöny 1974. 3—4. sz. Sztochasztikus hidrológiai rendszer-modellek KONTUR ISTVÁN 1. Bevezetés A kisvízgyűjtőkről lefolyó vízhozamok meghatározása általában a mérési adatok hiánya miatt nagyon sokakat foglalkoztató kérdés. A kisvízgyűjtők vízhozam idősorának előállítása új megvilágításba kerül, ha a matematikai statisztika és a valószínűségszámítás eszközeit is segítségül hívjuk. A bemutatandó eljárásunk lényege, hogy a vízgyűjtőterület topológiai tulajdonságait igyekszik figyelembevenni, tehát olyan információt, ami rendelkezésre áll: ez a térkép. A vízgyűjtő karakterisztika — másriéven az egyidejű levonulási vonalak módszere ismert a tervezői gyakorlatban [1]. A módszer legtöbbet támadott pontja a lefolyási sebességek felvétele. Kézenfekvő a valószínűségszámítás alkalmazása; legyen a levonulási sebesség, vagy ami ugyanazt jelenti a levonulási idő valószínűségi változó. A valószínűségi változó eloszlásának felvétele már nem okoz nehézséget, az exponenciális eloszlás matematikailag bizonyítható (Rényi A. [2]). A magyar hidrológiai irodalomban Vágás 1. [3, 4] és Szigyártó Z. [5] már az alkalmazását is bemutatta. Az alapvető eredményt vízgyűjtőkre Nash 1960ban [6] tározó-sorozat-modell eredményeként kapta. Zoch 1934-ben [7] determinisztikus úton vezette le hasonló eredményét a tározás differenciálegyenletéből kiindulva. Kalinin előrejelzési alkalmazását a magyar olvasó is ismerheti [8], Tanulmányunkban a fentiekhez képest a továbblépés az, hogy a párolgást és a felszínalatti lefolyást is modellezzük, egységes valószínűségszámítási, matematikai módszerrel. A párolgás, lefolyás, beszivárgás folyamatát, mint három alternatívás döntést, véletlen bolyongási modellel írjuk le. 2. A lefolyási vízhozam-hullámok gamma eloszlások Bontsuk a vízgyűjtő területet N darab különböző nagyságú A F

t területre. Induljon el a A Fi területről a í = 0 időpontban Mi = h(i)-AFi tömegű víz, ahol h(i) a csapadékmagasság az i. területen. Az i. területről a vizsgálandó A szelvényig tegye meg a víz az Li utat. Az Li utat bontsuk fel Ti számú szakaszba ezek legyenek rendre h , 12 , • • • , ... ,lr [1. ábra.] A bevezetőben említettük, hogy az átvonulási idők exponenciális eloszlást követnek. Részletesen kellene elemezni, hogy ez az állítás milyen feltételek között érvényes. Az átvonulási szakaszt elég kicsinek kell választanunk, hogy a szakasz kezdetén elinduló egységnyi víztömeg, vagy Mi meny* Budapesti Műszaki Egyetem, Budapest. nyiségű víz, beérkezési ideje a szakasz végén exponenciális eloszlást mutasson. A modell alkalmazásához két sebességet szükséges megadnunk, az egyik az átlagos sebesség, a másik a maximális sebesség. Kérdezheti az olvasó, hogy ez miért jobb, mint a korábban alkalmazott módszer? Úgy vélem azért, mert a vízhozam hullámkép előállítására a folyamatot leíró valószínűségi modellt alkalmazzuk, mely teljesebb a korábbiaknál, s a valószínűségszámítás éppen azokat a bizonytalanságokat viszi „modellen belülre", amelyek kényelmetlenek voltak. A maximális sebesség és az lj szakasz-hossz ismeretében a minimális átvonulási idő t

0 számítható. Ennyi idő alatt ér a j. szakasz elejétől a j. szakasz végéig a „leggyorsabb" (legnagyobb sebességgel haladó) vízrészecske, tehát a t = 0 időpillanatban elinduló víztömegből t = t

0 időpontban jelennek meg az első részecskék a következő szakaszvéghez. Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye, vagy ami ugyanaz az Mi víztömegből keletkező árhullámkép egyetlen szakasz megtétele után: - -W-t.,) (1) f(t) = Mi-jl-e ahol / az átlagos átvonulási idő. Mint ismeretes független exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege gamma eloszlást ad [2, 9, 10]. Vagyis az Mi víztömeg végig haladva az Ti szakaszon ri rendű gamma eloszlás-alakú lesz és a lefolyó vízhozam hullámkép: Q(t, i) = Mi -e-^ (2) ahol a AFi területtől az A szelvényig a legrövidebb levonulási idő. Korábban az lj szakaszok felvételénél hallgatólagosan úgy jártunk el, hogy minden szakaszon az átlagos átvonulási idő: A azonos legyen. Ez adja (2) egyszerű alakját. További egyszerűsítést jelent, ha X-t éppen egynek választjuk. A teljes vízhozamot az A szelvényben a részvízhozamok összegezéséből kapjuk. A transzformációra tetszőleges induló-árhullámkép esetében, a maximális és minimális átvonulási 1. ábra. Lefolyási út a részvízgyűjtő területről