Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

2. szám - Dr. Kozák Miklós: Szabadfelszínű nempermanens vízmozgások közelítő számítása összetett szelvényű medrekben

54 Hidrológiai Közlöny 1974. 2. sz. Dr. Kozák M.: Szabadfelszínű nempermanens vízmozgások dali hullámtérre külön-külön felírjuk a folytonossági és a dinamikai egyenletet. Az egyszerűség kedvéért vizsgáljunk egyelőre olyan összetett szelvényű medret, melynek kétoldali hullámtere azonos. Ekkor a főmederre vonatkozó folytonossági egyenlet: dx 91 •q + q>= 0 (1) míg a dinamikai egyenlet: dZ Q°- dF 2Q 8Q 1 - + + dQ

+Q

2 dx gF

3 9a; gF

2 dx gF dt K (2) A hullámtérre vonatkozó folytonossági egyenlet : dV , 8Z (3) míg a dinamikai egyenlet: 9 Z dx V

2 9/ 2V gP dx' gf

2 dx gf dt dV 1 9F V

2 +-—+—=0 k

2 JELMAGYARA1AT•• • Számított <ismert) pontok c Számítandó pontok (Z vagy Q ismert) o Számítandó pontok (Z és a ismeretlen) 4. ábra. Elemi mező sémája Fig. 4. Scheme of elementary field Az (1)—(4) alapegyenletek közelítő általános megoldására a véges differenciák implicit módszerét használtuk. E célból a vízfolyástól x hosszúságú szakaszokra osztjuk és az alapegyenleteket A t időintervallumonként megoldjuk. Az integrálás F(x, t) tartományát tehát Ax, At oldalhosszúságú elemi mezők sorozatára bontjuk és a 4 alapegyenletet véges differenciákban írjuk fel [4., 6.]. Egy mező általános sémáját a 4. ábrán tüntettük jel. Ügy a főmeder, mint a hullámtér egyenletpárjait át kell írni differenciaegyenletekké. Valamely / — függvény f'

x és fl parciális differanciál hányadosát a 4. ábra jelölései szerint elvileg így írhatjuk fel: 9

/~- 1 [/<+!-/<?' (5) dx 2 Ax dt~~ 2 At 2 Ax [fi

+i+M

+

1+ífi+i(6) (4) ahol Q és V a főmeder, ill. hullámtér vízhozama, B és b, F és/, Kés főmeder, ill. hullámtér szélessége, szelvényterülete és fajlagos vízszállítóképességi tényezője, z a vízszint, q, q

s

0 és q

sh a lineáris terhelés, a főmeder, ill. a hullámtér szivárgási vízhozama a meder egységnyi hosszúságára vonatkoztatva, x a szelvény koordinátája, t az idő és g a nehézségi gyorsulás. A mező c középpontjára vonatkozó középérték pedig: M ^ [/Í+ZÍ+i]^ Lfr+/m]

i+

1 (7) Az f(c) közelítést a differenciál egyenletek együtthatóinak közelítésére használjuk [4]. Ha az (1—2) és (3—4) differenciálegyenlet párokat véges differenciákra átírjuk és a nem lineáris tagokat, a könynyebb megoldhatóság céljából lineárissal helyettesítjük, 4 db 6 ismeretlenes lineáris egyenletet kapunk : Á

1Q

i+A

2V

i^Á

3Z

i+A

iq+A

5Q

i+

1+ÁQ V

i+

x+A

1Z

ÍJr

X=F

1 B iQí+A

2 Fi+AsZi+Aíg-hAsöi+i+A

0 V

{

+i+A

7Z

i+

1=F

2 C&ch^Vd-CsZtH-Ctf+C&i^+CeVi^+CvZi^Fs HiQi+F>i Vi+DsZi+Dtf+DsQi^+De V

i+

1D

7Z

i+

1=F

4 (8) Az első két egyenlet a főmederre, a másik kettő a hullámtérré vonatkozik. Az Aj, Bj. . . Dj (i = = 1,2, ... 7) Fi(i = 1, 2, ... 4) egyenletállandók, melyeknek értékeit a közelítés fokának megfelelően iterációval határozunk meg. A súrlódási tagot a részleges iterációs formulával számítva a (8) állandói levezethetők [6]. 4. Az egyenletrendszer megoldása A féldinamikus eljárásra levezetett 7 ismeretlenes (8) egyenletrendszer esetén, n darab folyószakaszra 4Xn egyenlet írható fel. Tekintettel arra, hogy két egymás melletti szakasz egyenleteiben 3—3 változó közös, a q vízhozamok pedig csak a Szakaszra vonatkoznak, az ismeretlenek száma 4x71+3. Ezért a megoldáshoz a felső (x = xj) és alsó (x~x

a) határfeltételi szelvényekben meg kell adni 3 változó értékét minden időpillanatban. Ismerni kell ezenkívül a kezdeti feltételeket is, melyet a következő alakban szoktak megadni: Qf=Q(x)

t=t

0; V=V(x)t. Z=Z{x)

M-, (9) A határfeltételként legcélszerűbb ha a felső szelvényben megadjuk a főmeder (Q) és a hullámtér