Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: A Bolyai-geometria a mérnöki tudományban

Dr. Vágás I.: A Bolyai-geometria Hidrológiai Közlöny 1974. 9. sz. 401 egyenlettel írható le: cc y(x) = k

B-ch —— (6) kb Itt a megszorítás annyi, hogy csak a 2?/o = kb esetek valósulnak meg, viszont a Bolyai-geometria, illetőleg az eredetazonossági tétellel megalkotott nem-euklideszi geometria tételei ismét alkalmazhatók voltak. Emiatt mondhatjuk, hogy az önsúlyuk alatt belógó villanydrótok, kötelek, rugalmas tartók, stb. a Bolyai-geometria egy-egy példáját idézik. Ebben a tanulmányban a Bolyai-geometria mechanikai vonatkozásait tárgyaltuk. A hidraulikai vonatkozásokat a korábbi években már bemutattuk azonban a mechanikai leírás általánosabb; az eddig kidolgozott hidraulikai leírásmódjaink ebből következtek. A szívóárkos, ill. a csőkutas, síkbeli, vagy síkbelinek tekinthető talajvízszint süllyesztés létrehozása ós fenntartása kétségtelenül csak erőrendszerek állandó működtetése révén lehetséges. A vízszint süllyesztés „erőgépeit" kikapcsolva, tehát a vízszint süllyesztést abbahagyva, a víz felhajtó ereje érvényesül és a vízszintet a nyugalmi vízszint vonalába igyekszik visszaemelni. Ezt a felhajtó erőt kell tehát a talajvízszint süllyesztő szivattyúzásnak legyőznie és az egyensúlyi alakzatot, (a leszívási vízszintvonalat) létrehoznia. Ennek megfelelően a terhelést létrehozó megoszló erőrendszer a leszívással arányos: q(x) = y-y(x), (ahol y a víz fajsúlya), így a (4) differenciálegyenlet a talajvízszint süllyesztésekre is érvényes. Ugyanezek miatt — bizonyos közelítésekkel — alkalmazható még ez a differenciálegyenlet a szabad felszínű vízniozgások duzzasztásaira, ill. vízszint sülylyesztéseire is. Amint azt más helyen bemutattuk: a talajvízszint süllyesztés leszívási vonalaiból — hasonlóan a mechanikai rendszerek egyensúlyi vonalaihoz — 180°-nál kisebb szögösszegű háromszögek készíthetők. A kB tényezőnek — ami tulajdonkeppen a Bolyai-féle görbületi hosszúság, görbületi sugár — fontos fizikai tartalma van. Ennek segítségével fejezhetjük ki a meghatározott anyagi tulajdonságú tartók, láncok, kötelek viselkedésének különbözőségeit, a porózus közeg fizikai tulajdonságainak hatását, vagy a duzzasztott vízfolyások vízszintezési viszonyainak jellegzetességeit. Anyagi világunkon belül — amint láttuk — nemcsak egyetlen görbületi mérték lehetséges. A különböző görbületű Bolyai-geometriák a különböző mechanikai rendszerekben „egymás mellett élnek" és elvileg bármely k

B értékhez tartozóan realizálhatók, így minden lehetséges esetük megvalósul. Bolyai geometriájának értékelése a műszaki szemléletmódok fejlődése tükrében Az új geometria jelentőségét a legalaposabban maga a geometria szerzője értékelte. Az „Appendix"- ben foglalt értékelő megjegyzésekhez a kommentár-irodalom már csak keveset tudott hozzátenni. Miután Bolyai János az „Appendix" 15. §-ában 27-val jelölte meg a geometriának azt a rendszerét, amely Euklidesz XI. axiómája igaz voltának feltevésén épül fel, Ssei pedig az ellenkező feltevésre épített rendszert, és miután megállapította, hogy egy, általunk &jrvel jelölt görbületi alaphossz különböző megválasztásával különböző /S-rendszerek építhetők fel, a 32. § VII. pontjában kifejtette: „Bebizonyítható, hogy ha k

B végtelenhez tart, akkor bármely k/j-t tartalmazó, vagyis k;; létezésének feltevéséből levezetett kifejezés határértéke éppen a megfelelő zf-rendszerbeli mennyiség, tehát, amelyik arra a feltevésre épül, hogy semmilyen kn nem létezik. „..." Óvakodjunk azonban attól a hiedelemtől, hogy megváltoztathatjuk magát a rendszert, mert ez önmagában és önmaga által teljesen meghatározott. Csupán a feltevést változtathatjuk, mindaddig, míg ellentmondásra nem jutunk." A 33. §-ban Bolyai a következőket szögezi le: „I. Eldöntetlen marad, hogy vajon a valóságban a 27 rendszer, vagy pedig valamelyik /S-rendszer teljesül-e. II. Mindaz, amit a XI. axióma helytelenségének feltevéséből levezettünk, abszolút igaz, . . . ebben az értelemben tehát semmiféle feltevésre nem támaszkodik. Van eszerint olyan a priori sík trigonometria, amelynél csupán az igaz rendszer ismeretlen és ezért csakis a kifejezések abszolút nagysága marad meg nem határozott, azonban egyetlen ismeretlen eset alapján nyilván az egész rendszert rögzíthetnénk. III. Ha tudnánk, hogy 27 érvényes, akkor e tekintetben semmiféle további nyílt kérdés nem maradna. Ha azonban tudnánk hogy 27 nem érvényes, akkor . . . kB természetes hosszegység volna, miként e a természetes logaritmusrendszer alapszáma." Végül a 43. §-ban olvashatjuk: „Hátra volna a tárgy minden vonatkozásban való lezárása érdekében annak bizonyítása, hogy mindennemű feltevés nélkül nem lehet eldönteni, vajon Z, vagy pedig valamelyik S (és melyik) teljesül." A közölt idézetekből látható, hogy Bolyai János az új geometria leglényegesebb következményeként állapította meg: a) Elméletileg elképzelhető és önmagában ellentmondásmentes lehet az euklideszi 27 rendszer is, és egyúttal bármely véges k

B hosszúsághoz tartozó Bolvai-féle S rendszer is. b) Az euklideszi 27 rendszerrel nem egyetlen Bolyai-féle S rendszer állítható szembe, hanem az ^-rendszerek összessége, amelyek határesetben a 27-t is magukban foglalják. c) Adott esetben történő alkalmazás során méréssel kell meghatározni az érvényes k

B tényezőt, így az /S-rendszert. Az elmondottak fényében elemezhetjük annak a vitának az alapvető tartalmát amelyet Bolyai János apjával, Bolyai Farkassal folytatott. Bolyai Farkas matematikai munkásságának célja az volt, hogy vagy bebizonyítsa Euklidesz XI. axiómáját, vagy meggyőződjék annák helytelenségéről, és mással helyettesítse azt. Fia geometriai rendszeréről is azt hitte, hogy az utóbbi feltételt elégíti ki; ezt a fordulatot örömmel üdvözölte volna. De nem így törtónt: „Egész kétségbeejtő módon azt is állította — írja apjáról Bolyai János — hogy csak két (subjective successive gondolható) rendszer van, t. i. az euklidikus, és ha ez nem áll fenn, akkor egyetlen másik, amelyben a