Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: A Bolyai-geometria a mérnöki tudományban

400 Hidrológiai Közlöny 1974. 9. sz. Dr. Vágás I.: A Bölyai-geometria szetett vonatkozások is — „illeszkedés"-nek, „közte levés"-nek, „egybevágóság"-nak („eredetazonosság"nak), továbbá „párhuzamosság"-nak. Ilyen módon az ^-rendszerben mintegy „térképet" készíthetünk az M-beli axiómarendszer logikai szerkezetének ábrázolására, amelyen ezek az axiómák valamilyen euklideszi állítás formájában visszatükröződnek. Ha ezzel az átalakítással („letérképezéssel") az űrrendszer minden axiómája az .S-rendszer helyes tételébe megy át, akkor mondhatjuk, hogy az i?-beli modell megvalósítja az Jf-beli modell axiómarendszerét, és akkor az M axiómarendszerét ellentmondásmentesnek tekintjük. Alkossuk meg ennek megfelelően az M axiómarendszerének A

1-beli megfelelőit: (5. ábra). Feleljenek meg az Af-ben ábrázolt egyensúlyi vonalaknak ív-ben egyenesek, az iW-beli pontoknak az E-ben is pontok. Az M-beli végtelen távoli pontok ÍJ-beli megfelelői helyezkedjenek el két függőleges — h, és lu jelű — egyenesen. Két egyensúlyi vonal metsző voltát a megfelelő euklideszi egyeneseknek a két függőleges közötti síkrészben való metsződése, Bolyai-értelmezésű párhuzamosságát a függőlegesek valamelyikére illeszkedő metsződése, nem-metsző voltát pedig a függőlegesek közén kívüli metsződése tükrözi. Az illeszkedés ós közben levés axiómái M-ben is, E-ben is egyformák. Az egybevágóság és az eredetazonosság átértékelésére pedig transzformációs összefüggések határozhatók meg, amelyek részletes felírását itt mellőzzük. Az a tény, hogy meg lehet adni az M-rendszer és az U-rendszer egymásra való leképzési módját, tulajdonképpen tételünk bizonyítása. Elemezzük a továbbiakban a mechanikai rendszert a statisztika idevonatkozó törvényei alapján, és a mechanikai alapfeltevéseinknek megfelelően vezessük le az egyensúlyi vonalak egyenletét. A q = q(x) függvény szerint változó megoszló erőrendszerrel terhelt, két pontján alátámasztott vékony súlytalan kötél, vagy lánc („vonal") egyensúlyi alakját kötélgörbének nevezzük. Tulajdonképpen a mechanikai alapfeltevéseink szerinti egyensúlyi vonalak is kötélgörbék, ugyanis a szuperpozíciók lehetősége miatt az általánosság sérelme nélkül elegendő kettőnél nem több hatásvonalon működtetett koncentrált erőrendszer által okozott elmozdulásoknak a vizsgálata. A kötélgörbe egyensúlyi alakját kifejező, a nyugalmi egyenestől számított y elmozdulások y = y(x) egyenletét a q(x) terheléssel kapcsolatba hozza az alábbi differenciálegyenlet : d

2y(x) _ y(x) da;

2 H ahol H az alátámasztási pontokon a terhelt vonal egyensúlyban tartásához szükséges, a nyugalmi egyenessel párhuzamos, Mp dimenziójú húzóerő. Ha a (2) egyenletben nem H-t fejezzük ki, úgy y helyett a nyomaték jelentéssel felruházott M kifejezést kell írnunk, hiszen a kötélgörbe — mint ismeretes — egyúttal mindig H-val osztott nyomatékábra. (6. ábra). A 3. alapfeltevés szerint a q(x) függvény által kifejezett megoszló erőrendszer a nyugalmi egyenes mindenkori elmozdulásával, tehát az y(x) függvénnyel, az egyensúlyi vonal egyenletével arányos. Az arányosság kifejezésére vezessük be a Mp/m

2 dimenziójú y tényezőt, ami tulajdonképpen fajlagos megoszló terhelés, hiszen sík problémává váló egyszerűsödés miatt nem használhattunk Mp/m

3 dimenziót. így: q(x) = yy(x) (3) Ezt behelyettesíthetjük a (2) egyenletbe. Előbb azonban vezessük be a Hjy = kji jelölést. A kb érték dimenziója a hosszúság kifejezésére a technikában használt m, tekintve, hogy a Mp és a Mp/m

2 hányadosa m

2. Minthogy H és y egy mechanikai rendszerben konstansok, ke is konstans. Ezzel: d 2y(x) y(x) IhT

2 A differenciálegyenlet általános megoldása: y(x)=C

1-e

xl

kB+G

i.exl

kB (4) (5) A C értékek szeriht a következő eseteket célszerű megkülönböztetni: 1. C}— 0 és C

2 = y

0*0. Ekkor y(x) = y

0-e~

x,k

B 2.C

1=y

0^0, és C

2 = 0. Ekkor y(x) = y

0-e

x,kl

B 3. C

1^0 és C

2^0. Figyelembe véve, hogy alkalmas átalakításokkal, (amelyek a koordináta rendszer kezdő pontjának megváltoztatásával az x változót transzformálják) elérhetjük: cc a) C\=C

2 = y

0. Ekkor y(x) — 2y

0 •ch • ki b) C = -C

2 = y

0. Ekkor y(x) = 2y

0-sh x 6. ábra. A kötélgörbe, mint egyensúlyi vonal, és mint a Bolyai geometria mechanikai példája Puc. 6. Herinaa AUHUH, KOK AUHUH paenoeecun u KÜK Mexanmecnasi mimepnpemaijun eeoMempuu BoAbau Az általános megoldásból származtatott görbealakzatok a mechanikai alapfeltevéseknek megfelelő lehetséges egyensúlyi vonalak. Ezek közül az 1. és 2. eseteknek megfelelő egyenletű vonalak egyszerű, a 3. eseteknek megfelelőek pedig összetett egyensúlyi vonalak. A Bolyai geometria tételeinek mechanikus alkalmazásával — figyelemmel azonban a 6. tétel bizonyítási részében körülírt megszorításokra — ugyanazokat az egyenleteket vezethetjük be az egymással Bolyai értelemben párhuzamos egyenesekre, mint amelyek az (5) egyenlet kifejtése során adódtak. Ez a Bolyai-geometriai mechanikai alkalmazhatóságának bizonyítéka. Még egy érdekes különleges mechanikai esetre kell itt rámutatnunk. Az önsúlya alatt belógó kötél egyensúlyi alakja, az ún láncgörbe a következő