Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: A Bolyai-geometria a mérnöki tudományban

Dr. Vágás I.: A Bolyai-geometria NY.E. 4. ábra. A párhuzamosslyai féle ág Boértelmezése egyensúlyi vonalakon Puc. 4. McmoAKoeaHue napaAeAAbHOcmu Ha AUHUÜX pasHoeecuH- coejiactio meopuu EoAbau tikusan közeledik V is, Z" is, azaz másmódon kifejezve: l

e párhuzamos Z'-vel és Z"-vel, ill. jelölés szerint: l

t ||| V és l

e ||| Z". (4 ábra). Bizonyítás: Képezzük az Z' és Z" vonalakat úgy, hogy az l

e vonalhoz az A pont hatásvonalán P koncentrált erő működtetésével szuperponálunk további elmozdulást. Az idegen hatásvonalakon a 4. alapfeltevés szerint mindenütt ébred elmozdulási hatás s ez nyilvánvalóan csak a végtelenhez közeledve enyészik el. így az Z' és Z" egyensúlyi vonalak az l

e vonalhoz aszimptotikusan közelednek. Amikor más koncentrált erők segítségével szuperponálunk valamilyen fajta egyensúlyi elmozdulást az l

e vonalhoz oly módon, hogy ez a mostani egyensúlyi vonal az A pontra is illeszkedjék, ekkor két eset lehetséges: a) az A pontot kivéve vagy mindenütt nagyobbak egy Zj jelű egyensúlyi vonal nyugalmi egyenestől mért elmozdulásai az Z' — Z" szögtartományt képező vonalak elmozdulásainál s így az egyensúlyi vonal nem lesz a megkívánt V — l" szögtartományban és l

t-1 sem metszi, (4. ábra), vagy, ha ez nem következik be akkor, b) az Z

2 jelű egyensúlyi vonal nyugalmi egyenestől mért elmozdulásai egyes vonalszakaszokon kisebbek lesznek az V, vagy az Z" vonalak szögtartományi szakaszainak elmozdulásainál, de akkor — minthogy az Z

2 vonal az Z'-t, vagy az Z"-t az A ponton kívül az 1. tételben foglaltak szerint még egyszer már nem metszheti, sőt azokhoz aszimptotikusan sem közeledhet már, hiszen ez a végtelenben való másodszori metsződést jelentené — az Z

e vonalat mindenkép metszenie kell, ami által viszont kikerül az adott szögtartományból. 5. tétel: Ha az 1—4. tételekben az „egyensúlyi vonal", ill. a „nyugalmi egyenes" kifejezést ,,egyenes" kifejezéssel, az „eredetazonos" kifejezést „egybevágó" kifejezéssel, míg az „aszimptotikus közeledés" kifejezést,,párhuzamosság" kifejezéssel helyettesítjük, akkor a Hilbert által összeállított axiómarendszerhez jutunk, a párhuzamossági axióma Bolyai—Lobacsevszkij-íé\e megfogalmazása mellett. Az alapfeltevésekkel felépített mechanikai rendszerünk tehát olyan geometriai rendszerrel egyenértékű, amelyben az egyenesekre vonatkozó tételek az egyensúlyi vonalakra érvényesek, úgy azonban, hogy az egybevágóság feltételeit az eredetazonosság feltételeivel helyettesítjük, és a párhuzamossági axiómát Euklidesszel ellentétben, a Bolyai geometria szellemében mondjuk ki. A tétel bizonyítékai az eddigi tételek bizonyítékainak összessége. Hidrológiai Közlöny 1974. 9. sz. 399 6. tétel: A mechanikai alapfeltevéseknek megfelelő geometriai modell olyan közelítésben azonosítható a Bolyai geometriának megfelelő modellel, amilyen közelítésben azonosítható az egybevágóságot definiáló meghatározás az eredetazonosságot definiáló meghatározással. Bizonyítás: A mechanikai alapfeltevéseknek megfelelő geometriai kép, tehát az egyensúlyi vonalak rendszere és a Bolyai geometria rendszere között csak az egybevágósági axiómában van különbség. Ha bizonyos körülmények között ez az axióma ugyanazt jelentené, ezekben az esetekben a kétfajta geometriai modell is azonosítható lehetne egymással. Ahol tehát az egyensúlyi vonalak eredetazonos szakaszainak hosszváltozása a műszaki életben megkívánt pontosságon belül elhanyagolható, geometriai összefüggéseinket akár a Bolyai geometria által levezetett összefüggésekből is előállíthatjuk, figyelemmel azonban arra, hogy ezt csak a tg a ^ sin a közelítések figyelembevételével, azok érvényessége esetén tehetjük. (Az a szög az egyensúlyi vonal lehajlásának szöge egy adott pontban.) 7. tétel: Ha az euklideszi geometria ellentmondásmentes, úgy a mechanikai alapfeltevéseinknek megfelelő geometriai modell is ellentmondásmentesen írja le az általa tükrözött erőtani jelenségeket. Bizonyítás: A mechanikai alapfeltevéseknek megfelelő geometriai modellt jelöljük Tlf-mel. Az M-beli axiómák „pont"-ról „egyenes"-ről és ezeknek ama vonatkozásairól szólnak, amelyeket az „illeszkedik", „közte van", „egybevágó", illetve „eredetazonos", és „párhuzamos" szavakkal fejezünk ki. Tekintsük az I?-vel jelölendő euklideszi geometriai rendszer bizonyos elemeit — nem feltétlenül a pontjait vagy más alapelemeit — s tekintsük azokat „pontok"-nak, bizonyos másfajta elemeit „egyenesek"-nek. Tekintsünk ezek között az euklideszi fogalmak között értelmezett bizonyosfajta vonatkozásokat — amelyek lehetnek az euklideszi alapvonatkozásból leszármaztatott ösz5. ábra. A mechanikai rendszer egyensúlyi vonalainak összességét (M) euklideszi (E) rendszerbe is leképezhetjük Puc. 5. CoeoKynmcmb AUHUÜ pasHoeecun MexaHU'tecKoü cucmeMbi (M) Mojtcem 6umb mpanc(fiopMupoeano e 38KAUdoeyto cucmeMy (9)