Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: A Bolyai-geometria a mérnöki tudományban

398 Hidrológiai Közlöny 1974. 9. sz. Dr. Vágás I.: A Bölyai-geometria ponton egy és csak egy egyensúlyi vonal haladhat át. A 4. alapfeltevésből az is következik, hogy az 1. tétel olyan esetekre is bizonyítható, amelyeknél a P

x és P

2 erők nem az A j és A

2 pontok hatásvonalán mennek át. Ilyenkor alkalmas további f(x) tényezők útján kell kapcsolatot teremteni a megfelelő idegen és saját hatásvonalakon kialakuló elmozdulások között és a levezetést ilyen módosítással megismételve juthatunk ugyanolyan végkövetkeztetésre, mint az előzőekben (2. ábra). A mechanikai szemlélet külön részletezés nélkül is belátni engedi, hogy létezik legalább egy olyan pont a mechanikai rendszerben, amely két adott pontra illeszkedő egyensúlyi vonalra nem illeszkedik. Ennek megemlítésére a Hilbert-féle axiómákkal való teljes azonosítás érdekében van szükségünk. 2. tétel: Ha a nyugalmi egyenesen a rendezés (közbetartozás) alábbiakban kifejtendő axiómái értelmezhetők, akkor azok a nyugalmi egyenesből az alapfeltevéseknek megfelelő erőhatások által származtatott bármely más egyensúlyi vonalra is értelmezhetők. A rendezés tételében szereplő geometriai axiómák Hilbert megfogalmazása nyomán átírva a következők : 1. Ha a B pont egy A és egy C pont között van, akkor A, B, G egy egyensúlyi vonalnak három különböző pontja, és akkor B pont a G és az A között is van. 2. Két ponthoz, 4-hoz és O-hez az A és C által meghatározott egyensúlyi vonalnak legalább egy olyan B pontja tartozik, hogy a C pont az A és B között van. 2. Egy egyensúlyi vonalnak bármely három pontja közül egyik, de csak az egyik van a másik kettő között. Bizonyítás: Mechanikai rendszerünkben az erőmentes vonal egyensúlyi alakját egyenessel idealizáltuk. (1. alapfeltevés). Ezt az egyenest szemléletünk alapján jellemezhetjük azokkal az axiómákkal, amelyeket ránézve a geometria érvényesnek tekint, vagy követel. A nyugalmi egyenesnek a mechanikai alapfeltevések szerinti, egyensúlyban levő erőrendszerrel történő átalakításával bármilyen egyensúlyi vonalat is állítsunk elő, a saját és az idegen hatásvonalak kölcsönösen egyértelmű vonatkozást hoznak létre a nyugalmi egyenes minden egyes pontja, és bármely egyensúlyi vonal minden egyes pontja között. A nyugalmi egyenes különböző pontjain átmenő hatásvonalak a pontok Akkor AC = A'C' 3. ábra. Eredetazonos és a rendezés axiómáit bemutató egyensúlyi vonalszakaszok Puc. 3. PaemeecHbie ompe3Ku jiuhuü, u3o6paMcawiyue UCKOMoe cocmoHime u aKcuoMbi nepecmpoüKU közbetartozására vonatkozó törvényeket a maguk viszonylatában semmikép sem változtathatják meg, tehát az általuk létesített kölcsönösen egyértelmű vonatkozás viszonylatában sem lehet változás (3. ábra). 3. tétel: Ha a mechanikai alapfeltevéseinkben vázolt módon, tehát a nyugalmi egyenesre merőleges koncentrált erőkkel és az azokat egyensúlyozó, az elmozdulásokkal arányos megoszló erőrendszerrel kialakított valamelyik egyensúlyi vonal A és B pontjai közötti vonalszakasz átvihető egy másik egyensúlyi vonal A' és B' pontjai közötti szakaszába, akkor ezt a két említett vonalszakaszt eredetazonosnak nevezzük és eredetazonosságukat a végpontjaikhoz tartozó hatásvonalaknak a nyugalmi egyenesen értelmezett egyező távolságával jellemezzük. Ha a nyugalmi egyenes tetszőleges szakaszait hosszúságuk egyenlősége esetén egybevágóaknak, vagy egyenlőknek nevezhetjük, úgy a nyugalmi egyenes egybevágó vonalszakaszait mechanikai alapfeltevéseink szerint egyensúlyi vonallá átalakítva feltétlenül eredetazonos egyensúlyi vonalszakaszokhoz jutunk (3. ábra). Bizonyítás: Az egyensúlyi vonalaknak egymásból, vagy a nyugalmi egyenesből történő szármáza 2. alapfeltevés szerint az erők hatásvonalának helyzetén nem változtat, így a transzformált vonalszakaszok végpontjaihoz tartozó hatásvonalaknak a nyugalmi egyenesen értelmezett távolságán sem. A 4. alapfeltevés alapján tulajdonképpen a teljes mechanikai rendszer oldalirányú eltolása is lehetséges, így az eredetazonosság fogalma viszszavezethető a nyugalmi egyenesen geometriailag értelmezhető egybevágóság, ill. egyenlőség fogalmára. Mindezek tudatában átírhatjuk Hilbert egybevágósági axiómáinak megfelelően a transzformációs eredetazonosságra vonatkozó axiómákat (3. ábra). 1. Ha A és B egy l jelű egyensúlyi vonalnak két pontja és ha továbbá A' egy V egyensúlyi vonalnak pontja, akkor egy, az A' által a V vonalon létesített meghatározott vonaloldalon mindig van egy B' pont azért, hogy az AB vonalszakasz az A'B' vonalszakasszal eredetazonos legyen. Ennek jelölése: ABmA'B'. 2. Ha egy A'B' szakasz egy A"B" szakasz ugyanazzal az AB szakasszal eredetazonos, akkor azok egymással is eredetazonosak. 3. Legyen adva az l jelű egyensúlyi vonalon két, közös pont nélküli szakasz, AB ós BC, legyen továbbá adva ugyanazon, vagy egy másik, V jelű egyensúlyi vonalon két, közös pont nélküli szakasz A'B' ós B'G'; akkor, ha ABmA'B' és BC = B'C\ egyben AVmA'C'. Minden nehézség nélkül az előzőkhöz hasonlóan átírhatnánk a szögekre és a háromszögekre vonatkozó folytonossági és egybevágósági axiómák Hilbert-féle megfogalmazásának megfelelően mechanikai alapfeltevéseinket is. A továbbiakban azonban ezekkel nem folglalkozunk. 4. tétel: Ha a mechanikai rendszerben l

e tetszőleges egyensúlyi vonal és A egy rá nem illeszkedő pont, akkor mindig van két olyan, az A ponton átmenő V és l" egyensúlyi vonal, amelyek nem egészítik ki egymást egyetlen törésmentes egyensúlyi vonallá, és amelyek nem metszik az l

e vonalat; viszont minden, az V és l" szögtartományba eső, A -n áthaladó egyensúlyi vonal metszi az l

e vonalat. Ezen esetben azt mondjuk, hogy Z

e-hez aszimpto-