Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: A Bolyai-geometria a mérnöki tudományban

Dr. Vágás I.: A Bolyai-geometria Hidrológiai Közlöny 1974. 9. sz. 397 i ^Íííl f Mk c, NY.E. Pz 1. ábra. A végtelen vékony síkbeli vonalak egyensúlyban levő erők által létrehozott elmozdulási alakzalai, mechanikai alapfeltevéseiknek megfelelően Puc. 1. JJeifiopMaifuoHHbie cßopMu 6ea<0iieHH0 moimux AUHUÜ Ha noeepxiiocmu, o6pa3oeannbie ecnedcmeue eo3deücmeiw ypaemeememwü cucmeMbi cun coomeemcmeywique MexaHmecKUM npeőnoAOjicenuHM aemopa vágósági és a párhuzamossági axiómát melyik megfogalmazásban célszerű előírnunk. Mechanikai vizsgálatunk közvetlen célja a végtelen hosszú, végtelen vékony, súlytalan síkbeli vonalak egyensúlyban levő erők által létrehozott egyensúlyi alakjának, mint geometriai alakzatnak az elemzése. Ennek végrehajtásához a következő alapjeltevéseket vezetjük be: (1. ábra). 1. A végtelen hosszú és végtelen vékony erőmentes súlytalan vonal egyensúlyi alakja: egyenes. (Nyugalmi egyenes). 2. A nyugalmi egyenesre merőleges koncentrált erők a nyugalmi egyenes pontjait a nyugalmi egyenesre merőlegesen, a hatóerőkkel arányos távolságba térítik ki. Ebből következően az erők nem csak a saját hatásvonalukban, hanem az attól idegen, a nyugalmi egyenesre merőleges egyéb vonalak mentén is elmozdulásokat okoznak. Az egyes hatásvonalakon a különböző erők által okozott elmozdulások pedig algebrailag összegezhetők (szuper ponálhatók). 3. A koncentrált erőket egyensúlyozó erőrendszer a nyugalmi egyenes teljes hosszában megoszló, a hatóerőkkel ellentétes értelmű, a nyugalmi egyenes elmozdulásainak mértékével arányos erőrendszer. 4. Azonos nagyságú erők bármely saját hatásvonalon azonos elmozdulást okoznak. Azonos erők által okozott idegen hatásvonalbeli elmozdulásoknak asaját hatásvonalbeli elmozdulásokkal meglevő aránya — amely az egységnél kisebb — egy mechanikai rendszeren belül csak a saját és az idegen hatásvonalaknak egymástól mért távolságától függ. A mechanikai alapfeltevések fenti, lényegében önkényes megfogalmazásánál nem tartottuk szükségesnek annak kiküszöbölését, hogy az egyes alapfeltevések részben, vagy egészben ne következhessenek egymásból is. A mechanikai alapfeltevéseket vagy az azokból származó következtetéseket a továbbiakban a Hilbert-féle geometriai axiómarendszer szerinti megfogalmazásban írjuk át és azt igazoljuk, hogy a mechanikai alapfeltevések geometriai tartalma azonos a Hilbert-féle axiómarendszer geometriai tartalmával. Ennek megfelelően tételeket mondunk ki: 1. tétel: A hatóerők és a nyugalmi egyenes síkjának bármely két pontjára egy és csak egy egyensúlyi vonal illeszkedik. Bizonyítás : Legyen A, és A 2 a két pont. Az adott pontoknak a nyugalmi egyenestől a rajtuk átmenő hatásvonalakon mért távolsága legyen y

x és y

2. (2. ábra). A pontokhoz tartozó hatásvonalak egymástól mért távolsága: x

l

2. Az A i ponton átmenő hatásvonalon működő P

l koncentrált erő létesítsen ezen az egyébként saját hatásvonalon ?/

u elmozdulást, az A 2 ponton átmenő számára idegen hatásvonalon pedig y

2

1 elmozdulást. Az A 2 ponton átmenő hatásvonalon működő P

2 koncentrált erő ezen a saját hatásvonalán létesítsen y

2

2 elmozdulást, az A, ponton átmenő számára idegen hatásvonalon pedig y

X

2 elmozdulást. A 2. alapfeltevés szerint az ugyanazon hatásvonalon keletkező elmozdulások összegezhetők. A 4. alapfeltevés szerint az idegen elmozdulások az őket okozó saját elmozdulásokkal arányosak. Az arányossági tényező ugyanezen alapfeltevés szerint csak az x

12 távolságtól függ, jelölése így/(£i

2) lehet. Mindezekből: 2/i

= 2/u + Vn ~ 2/n + Vti ~f(

xte) (

l

a) 2/2 = 2/21 + Vit = yil-f(

X12)+ 2/

22 (

l

b) Az (1) egyenletrendszerben szereplő mennyiségeket úgy tekinthetjük, hogy y

1 és y.

2, valamint f(x

n) megadottak, és a két ismeretlen, y

n és y

22 értéke a kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerből egyértelműen adódik. Az egyértelműség feltétele egyébként a 4. alapfeltevésben foglalt 0<f(x

1

2) <Í összefüggés. Mindez azt jelenti, hogy két adott x„ 2. ábra. Két ponton át csak egy egyensúlyi vonal halad Puc. 2. lIepe3 dee mo<iKu MOUCHO npoeecmu moAbKo odny AUHUW paemeecun