Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

8. szám - Szőllősi-Nagy András: Optimális előrejelző-függvény meghatározása a Wiener-féle extrapoláció elmélet alkalmazásával

3<i6 Hidrológiai, Közlöny 1974. 8. sz. Szöllősi-Nagy A.: Optimális előrejelző-függvény reknek nevezik. A hidrológiai és hidraulikai rendszerek teljes általánosságban ilyenek [29]. (2) A rendszer sajátosságait paraméte rei határozzák meg. Ha a rendszer paraméterei csak az időtől függenek, akkor azt koncentrált paraméterűnek nevezzük — ellenkező esetben a rendszer elosztott paraméterű. Egy vízgyűjtő-rendszer paraméterei például a vízgyűjtőkarakterisztika, az egységárhullám, a beszivárgási sebesség stb. Tehát a koncentrált paraméter a rendszer tér-invarianciáját jelenti, vízgyűjtő-rendszer esetében, pl. azt, hogy a csapadék a vízgyűjtő egész területén egyenletesen elosztva esik le, vagy pl. a beszivárgás) viszonyok a vízgyűjtő egész területén azonosak — mindenütt azonos talajszerkezet-, tehát a beszivárgás csak az idő függvénye. E példák is bizonyítják, hogy egy vízgyűjtő elosztott paraméterű rendszernek tekinthető, hiszen mind a csapadék, mind a beszivárgó vízmennyiség térbeli eloszlása az adott vízgyűjtőterületen más és más. (3) A rendszer idő-invariáns, vagy stacionárius, ha jellemzői nem függenek a vizsgálat időpontjától, azaz, ha y(t+t) = Jó[x(t+r)l \j(x(t),x) (2) Tehát egy vízgyűjtő-rendszer pillanatnyi egységárhulláma a rendszer impulzusválasza, hiszen az egységnyi térfogatú pillanatnyi idő alatt „lehullott" hatékony csapadék hatására keletkezik. Az impulzusválaszt gyakran súly függvénynek is szokták nevezni, ami azzal magyarázható, hogy az impulzusválasz mintegy kijelöli, hogy az egyes T abszcisszákhoz tartozó hatékony csapadékok milyen „súllyal" vesznek részt, az eredő árhullám kialakításában. 1.2. Speciális hidrológiai rendszer: a felszíni lefolyás rendszere Közismert dolog [28, 31, 35], hogy az x(t) hatékony csapadék hatására keletkező y

e(t) eredő árhullámot az y

e(t)= J x(r)h(t — r) dT (6) minden x(t) bemenetre és T eltolási időre. Ha a (2) feltétel nem teljesül, akkor a rendszer idő-variáns vagy nemstacionárius. (4) A rendszer u raemóri ával rendelkezik, ha y(t) = X[t,x( r)], \/(t-u^r^t + u), (3) ahol u nem negatív valós szám. A fenti összefüggés olyan rendszert definiál, amelynek kimenete a bemenet múltjától és jövőjétől egyaránt függ. Ha u—oo, akkor a rendszer végtelen „hosszú" memóriával rendelkezik. (5) Az olyan rendszereket, amelyeknek aktuális kimenete nem függ a bemenet jövőjétől, —csak a bemenet múltjától —fi z i k a i 1 a g megvalósítható rendszere knek nevezzük, amelyeknek kimenete az y(t) = X[t,x( t)], y(t-u*£T?£t) (4) funkcionállal írható le. A hidrológiai rendszerek fizikailag megvalósíthatóak, hiszen egy vízgyűjtő kifolyási szelvényénél a t időpontban mért vízhozam nem függ a Í + T (T>0) időpontban leeső csapadéktól — ami a t időpontban még le sem esett. (6) A rendszert lineárisnak nevezzük, ha a rendszer operátora lineáris funkcionál. Azaz, ha tetszőleges a, ós a, valós állandókra ós x

l(t), x

2(t) bemeneti függvényekre érvényes az alábbi összefüggés: Teljes általánosságban, ha az #,(<), a\(í),. . . ,x

n(t) bemeneti függvényekre és tetszőleges a,, a

2,. . ., a

n állandókra igaz, hogy Duhamel integrállal (konvolúció) számíthatjuk, ahol h(t) a pillanatnyi egységárhullám (a rendszer súlyfüggvénye). Tehát a súlyfüggvény rendszerjellemzői; ismeretében tetszőleges bemenethez tartozó kimenet meghatározható [11]. Az eddigiek alapján mondhatjuk, hogy az egységárhullám elve a vízgyűjtőt mint hurokmentes lineáris idő-invariáns koncentrált paraméterű rendszert tekinti [27]. Jelöljük t = 0-val a bemenet időpontját, ekkor a (6) integrál felső határa helyére t írható: hiszen t y,(t) = J h(t— T)X(T) dr h(t-r) = 0, ha /-r<0 (7) (8) mivel az egységárhullám negatív időkre (r>í) nincs értelmezve, mert az okozat — a súlyfüggvény — nem előzheti meg az okot — a t = 0 időpontban ható Dirac impulzust. A (8) összefüggés a Volterrafeltét el és azt jelenti, hogy csak a bemenet múltja határozza meg a kimenetet — ami a fizikai megvalósíthatóság (4) feltétele. A (7) azt fejezi ki, hogy a kimenet a bemenet teljes múltjától függ (a rendszernek „végtelen" hosszú emlékezete van). A gyakorlati alkalmazásokhoz feltesszük, hogy a rendszer véges u memóriával rendelkezik — azaz rögzített t időnél u időegységet „emlékezik" vissza — tehát (7) így írható: ye(t)-f h(t — T)X(T) dr (9) *** Dirac-delta függvénynek (egységimpulzus-függvény) nevezzük és í(í) val jelöljük azt a függvényt, amely mindenütt zérus, kivéve a t= 0 időpontot, ahol végtelenné válik, oly módon, hogy közben a területe egységnyi marad. Azaz: (5) 4(0' r o, t*o r = •! és / 6(t) d/ — l. [«=, l ~ 0

0 J azaz a rendszer operációja additiv ós homogén — érvényes a szuperpozíció. Ha valamilyen rendszer nem elégíti ki ezt a követelményt, akkor nemlineárisunk mondjuk. (7) A rendszer h(t) impulzusválaszkaak (válaszfüggvényének) a ö(t) Dirac-delta*** bemenethez tartozó kimenetet nevezzük. A továbbiakban felhasználjuk a Dirac-delta következő tulajdonságát: I mm (ÍÍ-Í(O), ahol í(t) olyan tetszőleges függvénye a t változónak, amely a í — 0 helyen helyen értelmezve van.