Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

8. szám - Szőllősi-Nagy András: Optimális előrejelző-függvény meghatározása a Wiener-féle extrapoláció elmélet alkalmazásával

Szöllősi-Nagy A.: Optimális előrejelző-függvény Hidrológiai Közlöny 1974. 8. sz. 33Í) vagyis a il = t—r helyettesítéssel és i) helyére r írásával : u y

e(t)= j h(r)x(t—T) dr. optimálisnak nevezünk egy folyamatot, ha egy bizonyos, általunk előre megválasztott funkcionál minimumot ér el. Tehát, ha (10) Az u véges memóriának a következő értelmezést adhatjuk; írjuk át (10)-et. diszkrét alakba: u Vi= ^ hjXi_j (11) i=0 tehát u a súlyfüggvóny (egységárhullám) időalapja. A h(t) egységárhullám meghatározásához a (10) — Volt er ra típusú — integrálegyenletet kell megoldani, amely determinisztikus esetben több-kevesebb nehézséggel megoldható [2, 27, 28, 31, 35], 1.3. Sztochasztikus folyamatok lineáris transzformációja Hidrológiai rendszerek bemenete teljes általánosságban sztochasztikus folyamat — így a kimenet is az, és a kettő közötti kapcsolatot a rendszer operátora (rendszerjellemző) teremti meg, vagyis /= J F(e(t),t)dt = mm (16) Az optimális előrejelző-függvényt a következőképpen értelmezzük: Optimális előrejelző-függvénynek nevezzük azt a függvényt, amely minimalizálja a mért és előrejelzett vízhozamok közötti eltérés négyzetének várható értékét: E[e

2(í)] = min (17) (17) a WIENER -KOLMOGOROV kritérium, ahol e(t) az észlelt y(t) és az előrejelzett y

e(t) vízhozamok közötti eltérés (1. ábra): e(l)=y(t)-y

e(t) (18) y{t)=W[x(t)l (12) ahol x(t) és y(t) egyaránt sztochasztikus folyamatok {idősorok). A módszer elmélete szempontjából alapvető fontosságú a következő tétel [5]: Ha K> lineáris funkcionál, akkor kommutatív a sztochasztikus folyamatok E várható érték képzési operációjával: E[y (f)]=[*(í)]] = 25 [E [*(«)]] (13) A bizonyítás [27] igen egyszerű. Legyen x(t) n darab diszkrét értékkel adott, amelyek x

l

t x

2 x

n, ós y(t) ennek megfelelően y

x, ?/

2,. . . ,y

n, és yi = 7ö[xi\ azaz n n E[2/(<)]=— y w-— y (i4) n ' n 1 i=l ha 70 lineáris funkcionál, akkor (5) szerint írhatjuk, hogy n n —2 25[xi]a

i]

=(15) »=1 »~1 tehát. (14) ós (15) összevetésével: E[2/(í)]=a5[Et«(*)nMegjegyezzük, hogy a bizonyítás folytonos esetre vonatkozóan is könnyen elvégezhető, ha n— és ha a négyzetes középben vett konvergencia kritériumot alkalmazzuk [9], 2. Az előrejelző-függvény származtatása 2.1. A WIENER—IIOPF integrálegyenlet A célunk tehát olyan előrejelző-függvény meghatározása, amelynek birtokában optimális (minimális hibájú) előrejelzéseket tudunk kiadni. Általában [6] 1. ábra. Az optimalizálási folyamat sémája Fig. 1. Diagram of the optimatization process Az optimális előrejelző-függvény meghatározásához az alábbi feltételeket tesszük: (i) a csapadék és a belőle keletkező lefolyás folyamata egyaránt stacionárius ergodikus sztochasztikus folyamat és — a könnyebb matematikai kezelhetőség érdekében — mindkettőt nulla várható értékűvé tettük; (ti) a vízgyűjtő-rendszer koncentrált paraméterű időinvariáns fizikailag megvalósítható véges rnemóriájú lineáris rendszerrel közelíthető. A (18) eltérést négyzetre emelve, és behelyettesítve a (10) összefüggést: u e"(í) = y«(í)-2y(í) J h(r)x(t-T) dx + 0 u u + { J Ä(TMi-T)dr}{ f h(ß)x(t-ö) (19) 0 0 (A megkülönböztetés céljából r mellett bevezettük a •& integrálási változót is.) A (19) kifejezést behelyettesítve (17)-be, kapjuk: u E[e

2(í)] = E[

?y

2(í)]-2E[2/(<) J h(r)x(t-r) d

T] + 0 u u + E[{ J Ä(r)®(i-T)dij{ J A(0)ss(í-#) d#j] (20) o o A (13) tétel szerint a fenti kifejezésben a várható érték képzés és az integrálás sorrendje felcserélhető — mivel az integrál lineáris funkcionál —, és ha