Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)
12. szám - Dégen Imre: A termelési függvény vízgazdálkodási alkalmazása
524 Hidrológiai Közlöny 1973. 12. sz. Dégen 1.: A termelési függvény A termelési jellemzők segítségével meghatározhatjuk a vizsgált termelési tényező szempontjából a termelés technikai optimumát. A technikai optimum megállapításához a naturális egységben kifejezett termelési tényező változásának hatására bekövetkező átlagtermelékenység változását elemezzük. A technikai optimum az 1. ábrán feltüntetett 2. és 3. tartomány határán van, ahol a legnagyobb a termelési tényező átlagtermelékenysége. Az átlagtermelékenység maximumán kívül a technikai optimumpontot még az is jellemzi, hogy itt a határtermelékenység egyenlő az átlag termelékenységgel, előtte nagyobb, utána pedig kisebb annál. A technikai optimumpontban a határelaszticitás 1-gyel egyenlő, előtte nagyobb, utána kisebb 1-nél. A racionálisan gazdálkodó vállalat nyilvánvalóan csak az 1., 2. és 3. tartományban levő ráfordításmennyiségek között választhat. Amint eléri a 3. tartomány határát, a termelési tényező mennyiségének további növelése csökkenti a termelést, tehát mindenképpen hátrányos. A ráfordítás költségétől függ, hogy a vállalat az 1—-3. tartományban levő ráfordításmennyiségek közül melyiket választja. Ha a termelési tényező felhasználását és átlagtermelékenységét fizikai egységekben mérjük, akkor — mint említettük — technikailag optimális a termelési tényező felhasználása az átlagtermelékenység maximális értékénél. Az ilyen adatok önmagukban azonban általában nem teszik lehetővé a gazdaságilag optimális döntések meghatározását, mivel nem tartalmaznak információt az árakról. Azaz a döntéshozóknak nincs ismeretük arról, hogy az egyes ráfordítások gazdasági (pénzben kifejezett) értéke mekkora és az milyen pénzben kifejezett eredményt hoz. A gazdasági optimum vizsgálatakor nemcsak a fizikai egységekben mért termelési tényezőket és terméket, hanem azok árát is figyelembe kell venni. Gazdaságilag optimális a termelési tényezőknek az a felhasználása (kombinációja), amely mellett adott költséggel a legnagyobb termelés, vagy adott termelés minimális költséggel érhető el. Bármilyen gazdasági optimum kritériumot választjuk a termelési függvény mellé a ráfordítások költségét mérő C = P 1.A 1 + P 2.X 2+ . . fP n-X n (2) függvényt is fel kell írni, ahol C — az összes költség, Pj, P 2, . . ., P n — a termelési tényezők ára, A 1, X 2, . . ., X„ — a termelési tényezők. Legyen például egy vízmű víztermelési függvénye Y Sz — f(A 1 ( A 2, . . ., X„), (3) ahol Xi a különböző ráfordítások mennyisége, Y sz évente szükséges vízmennyiség (vízigény). A vállalat arra törekszik, hogy ezt a mennyiséget a lehető legolcsóbban termelje meg. Ez azt jelenti, hogy minimálni akarja az Y„ termelésre felhasznált ráfordítások C költségét, amelyet a (2) összefüggés fejez ki. A gazdasági optimumot a (2) függvény minimuma adja. A (2), (3) összefüggésekre alkalmazva a Lagrange-függvényt,* az L C =PI • A 1+ P 2 • X 2 + . . . + P„ • X„ 4+ A[f(X 1, X 2, ...,X N)-Y > Z] (4) függvény szélsőértékét kell meghatározni. A függvény parciális differenciálhányadosait zérussal egyenlővé téve kapjuk a minimumokat: dLc 9X x 9 L C 9 A, =Pi+A =P 2+A 9f(X 1, X 2, . . ., X n) dL e -Pn+X 9X„ dL c 9A 9X x 9f(Xj, X 2, . . • j Xn) 9X 2 9f(X p X 2, .. • i A n) = 0 = 0 9X„ = f(X l 5 X 2, ..., X n) — Y a z — 0 = 0 (5) Két változó esetén az első két parciális differenciálegyenlet a p _ _ 2 _9f(A 1, X 2, .. ., X„) es dX 1 9f(X 1, X 2, . . ., Xn) 9X7" (6) alakba írható át, amiből a A-kat kiküszöbölve 9f(X 1, X 2, ..., X„) Pi = P 2 9f(X x, X 2, . . ., Xn) 9X 2 kifejezés kapható, Figyelembe véve, hogy 9f( X v X 2, .. ., X») dX l azl, határterméke, a 9^X^X3, .. .,X„) (7) 9X 2 pedig az X 2 határ terméke, így a 7. összefüggés alapján a gazdasági optimum feltétele, hogy a termelési tényezők árának aránya egyenlő legyen határtermékük arányával. Két ráfordítás esetén a gazdasági optimumot grafikusan is meghatározhatjuk. A termelési függ* Lagrange-függvénynek nevezett segédfüggvény általános jelölésekkel megfogalmazott alakja X 2, . .., Xnl Aj, A 2, . . ., A m) = f(.X 1, X X n) + + V y0 r(x ux 2, ...,x n)~Gr] r-1 (ahol r a feltételi egyenletek száma 1 . . . m). A Lagrangefüggvény az X„ X 2,. . . ,X n változók ós a A szorzók (multiplikátorok) függvénye. Az első tag egyenlő azzal a függvénnyel, amelynek szélső értékét meg kell határozni, második tag a korlátozó feltételek mórlegegyeleteinek két oldala (<I>r és Cr) közötti különbség A,, A,,. . . ,A m egyenlőre meghatározatlan szorzókkal súlyozott összege. A függvény megoldása a változók ós a multiplikátorok szerinti differenciálással történik. Részletesebben lásd [2],
