Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)

1. szám - Domokos Miklós–Dr. Szász Domokos: Simuló vízhozam eloszlásfüggvények előállítása

Domokos M.—

dr. Szász D.: Simuló vízhozam eloszlásfüggvények Hidrológiai Közlöny 1973. 1. sz. 11 — ha a lognormális típusú simuló eloszlásfüggvények előállítására megbízhatóan közelítő, gyakorlatilag könnyen használható eljárást találnánk. Ha pl. a IV. kérdésre azt a választ kapnánk, hogy a lognormális eloszlásfüggvény y.'

! eltérése eléggé stabilis az x

0 érték (bizonyos tartományon belüli) ingadozásával szemben, s ugyanakkor a III. kérdéssel kapcsolatban kitűnnék, hogy az x

0 érték jó közelítéssel felvehető a legkisebb mintaelem rögzített számszorosában, ezzel máris adva lenne egy ilyen gyakorlati eljárás kulcsa, hiszen x

0 ismeretében a lognormális eloszlásfüggvény 1. táblázat szerinti implicit egyenletrendszere is két, egyszerűen megoldható explicit egyenletre esik szét. Azt, hogy a gamma-eloszlás előnyösebbként való jelentkezése milyen (esetleg természetföldrajzi jellemzőkkel összefüggő) törvényszerűségeket követ, — hogy pl. miért éppen a legnagyobb folyóink esetében gyakori, vagy hogy évszakosan hogyan változik — most nem dönthetjük el. E kérdésre — esetleg még további mintákat is feldolgozó — kutatásokkal kereshetünk választ. 5.2. A jól simuló eloszlásfüggvények paramétereinek kiszámítása (

III. feladat) Az 5.1 szakaszban elvetésre ítélt normális eloszlásfüggvényekkel a továbbiakban egyáltalán nem foglalkozunk. A jól simuló lognormális és gamma típusú simuló vízhozameloszlásfüggvények paramétereit, normált paraméterértékeit, valamint xJB(l) viszonyszámait — az A), és ahol szükséges volt, a C) program eredményprotokolljairól — mind a 192 mintára vonatkozóan a [18] jelentés táblázataiban a hasznosítóknak közreadtuk.

6 Kzzel lényegében teljesítettük a III. feladat első felét, amennyiben a vízkészletgazdálkodási gyakorlat számára konkrét paraméterértékeket szolgáltattunk, vagyis megadtuk a vizsgált 192 minta maximum likelihood-módszerrel — vagy, a gamma-eloszlás esetében, egyes mintáknál, amelyekre az említett módszer nem volt alkalmazható, a legkisebb x

2 eltérés módszerével — előállított konkrét lognormális és gamma simuló eloszlásfüggvényét. (Az eredményprotokollokon kiírt ordinátasorozatok felhasználásával a 10. ábrán, példaként, három minta konkrét simuló eloszlás- és sűrűségfüggvényét is megadtuk.) Ugyanakkor ez a nagyvolumenű számolási munka eredményeként kapott adatanyag majd — a paraméterek, ill. normált értékeik földrajzi, időbeli stb. függésére, általában: a nyert eredmények általánosításának lehetőségére vonatkozó — további kutatómunka kiindulása lehet. E munka keretében azt is vizsgálni kellene, hogy az egyes havi paraméterekből a vízkészletgazdálkodásban nem egyszer érdekessé váló többhónapos időszakok (pl. a tenyészidőszak) simuló eloszlásfüggvényeinek paraméterei hogyan származtathatók. A gyakorlati feldolgozások szempont jából itt érdemes megjegyeznünk, hogy néhány minta simuló eloszlásfüggvényeinek paramétereit, próbaképpen, nemcsak a mintaelemeket egyedenként számításba vevő A) prog6 A jelentést a megrendelő Országos Vízügyi Hivatal adta ki az érdekelteknek, elsősorban a Vízügyi Igazgatóságok hidrológus-mérnökeinek ós a Vízkészletgazdálkodási Központnak. ramrnal, hanem a hidrológiai gyakorlatban általában szokásos módon, — az elemeket kellő sűrűségű vízhozam-osztályközönkónt csoportosító — módon [5] is kiszámoltuk. A két módszerrel számolt paraméterértékek közötti eltérések jelentéktelenek voltak. 5.3 Az eloszlásfüggvények stabilitásának vizsgálata (I V. feladat) E kérdés megválaszolását a 8 reprezentatív mintára alkalmazott B) program célozta, amely egyben az V. feladat megoldásához is támpontot nyújt. Az eredményeket a példaképpen bemutatott 7. és 8. ábrához hasonló ábrák sorozatán dolgoztuk fel. Minden mintához két-két ábra tartozik: az egyik a lognormális, a másik a gamma simuló eloszlásfüggvény különböző jellemzőinek: m és a, ill. X és k paraméterének, x

2 eltérésének, valamint a simuló eloszlás M várható értékének ós D szórásának az x

0 paramétertől való függését szemlélteti. A 7. ábra szerint a x

2(x

0) függvény minimumához x°

p

t= 203 m

3/s, vagyis a #(1) = Í004 m

3/s legkisebb mintaelem kb. 20%-a tartozik. Az A) programmal viszont a maximum likelihood egyenletrendszer megoldásaként x^"

ux 1 = 354 m

3/s, vagyis a -B(l) érték kb. 35%-a adódott. Az is látható azonban, hogy az említett két x

0 értékhez tartozó x

2 eltérések különbsége alig 2%. Sőt, a 7. ábra alapjául szolgáló minta (Duna, Nagymaros; augusztus) esetében még az sem okozott volna a x

2 eltérések között 5%-osnál nagyobb különbséget, ha a 5(1) = 1004 m

3/s értéket a szelvény havi xJB{ 1) hányadosainak az átlagával, 0,43-mal szorozva, x

0 értékéül 430 m

3/s-ot vettünk volna fel. Példánk esetében az is látható, hogy a x

2(x

0) függvény a [0, -B(l)] intervallum első felében alig, második felében viszont erősen változik: az x

0 paraméter becslésszerű felvételénél tehát arra kell törekedni, hogy az az intervallum első felébe essék, ill. általában lefelé kell kerekíteni. A fenti megállapításokat csupán egyetlen minta vizsgálata alapján tettük, s ezért természetesen korántsem általánosíthatók. Általánosabb eredmények csakis a IV. kérdésre vonatkozó kutatások folytatásától remólhetők. Ha ezek alapján — amint várhatónak látszik — sikerülne a lognormális simuló eloszlásfüggvények x

0 paraméterének becslésszerű felvételére megnyugtató módszert találni, akkor az 7. táblázatban közölt maximum likelihood egyenletrendszer két könnyen megoldható — a másik két paraméterre nézve explicit — egyenletté redukálódnék s ezzel ezzel a simuló eloszlásfüggvény-típus a vízkészletgazdálkodási gyakorlatban való szóles körű, egységes alkalmazásának —- vagyis a II. kérdésre az 5.1 szakaszban adott ajánlás gyakorlati megvalósításnak — nem lenne akadálya. A 8. ábra az ugyanezen mintához simuló gamma típusú eloszlásfüggvények jellemzőinek az x

0 paraméter felvételétől való függését mutatja. E példa esetében a maximum likelihood-módszerrel kapott 3-max i érték még az előbbinél is jobban megközelíti a y.

2(x

n) függvény minimumához tartozó a;°

pt értéket; a két megfelelő x

2 érték között gyakorlatilag nincs különbség. (Ezen az ábrán, a következő 5.4 szakasz eredményeinek szemléltetésére, a D) programmal — vagyis momentum-becsléssel — kapott x™"

m — 782 m

3/s értéket is feltüntettük. Itt az ehhez tartozó x

0 érték is alig 5%-kai nagyobb az optimálisnál.)