Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)

12. szám - Dr. Vágás István: Folyóhálózatok gráf-elmélete

558 Hidrológiai Közlöny 1972. 12. sz. Dr. Vágás l: Folyóhálózatok gráf-elmélete pontjából veszélyesebb eset már el sem képzelhető annál, amikor minden találkozási pontnál az előző veszélyhelyzet egyazon árhullám-levonulás során következik be. A vázolt veszélyhelyzetben (helyzet-sorozatban) a kódfa szétágazásai által meghatározott hierarchikus alárendeltség szabályosságai szerint megoszló valószínűségű kódszóhosszak információ-elméleti esetével állunk szemben. Ez egyébként az optimális bináris lód [2, 4], A folyóágak árhullám találkozási helyzetében a viszonylag legkevésbé veszélyes, ellenkező szélsőség az, ha csak az egyik folyóág hoz vizet, a másik nem. Ebben az esetben a „zérus valószínűségű" kódszó akár ki is hagyható a kódolásból, s törölhető a kódfáról. (Ezért hagyhattuk ki az 1. példában és a 2. ábrán a tiszai vízgyűjtő jelentéktelenebb mellékfolyóit.) A legveszélyesebb és a legveszélytelenebb helyzet között az általános eseteknek megfelelő átmeneti helyzetek foglalnak helyet, mint ahogy az információ-elméletben az optimális és az elfajuló megoszlás, ill. kód között is a gyakorlatban előforduló esetek átmenetei állanak. Ezeknek jellemzésére folyóhálózatok vizsgálatánál is bevezetjük az entrópiát, mint az optimalitás mértékszámát. Ha a kód a hidrológiai határfeltételek által megszabott valószínűség-eloszlás mellett optimális, azaz entrópiája maximális, úgy ez az eset hidrológiailag a legveszélyesebb, előrejelzés szempontjából pedig a legbizonytalanabb. A hidrológiai helyzet veszélyességének fokát pedig ebben az összefüggésben ,,bit" (binary digit) egységekben mérhetjük. A folyóhálózat hidrológiai viszonyait jellemző H entrópia értékét definícióként az alábbi összefüggéssel adjuk meg [2, 4]: » 1 // = ^ pi • log bin —=Pi • log bin Pi i = 1 1 PI semmilyen más valószínűségeloszlás mellett nem kaphatunk. A folyóhálózatok rendszerében — bármilyen folyamatra is értelmezzünk valószínűség-eloszlást — a valószínűségi viszonyok optimalizálása nem áll módunkban. El tudjuk azonban dönteni, hogy egy adott helyzetnél számíthatunk-e veszélyesebb helyzetekre. A folyami kódfák ágainak egyenlő valószínűségére az egyes ágak bináris hierarchiájának rendszerint aszimmetrikus tulajdonságai miatt általában nem számíthatunk, így az elméletileg elképzelhető 11=

log bin n értékű maximális entrópia csak kivételes esetekben érvényesülhet. A ténylegesen kialakulható helyzetek jellemzésére vezessük be az átlagos kódszóhossz fogalmát. Minden folyóág meghatározott Lt számú kódjelből álló kódszóval jellemezhető, mint ahogy az /. példa bináris kódjában a Tisza 8, a Maros 3, a Körös 4 stb. bináris jellel volt leírható. Ha a kódszóhosszak mellett a vonatkozó folvóágakon értelmezett pi valószínűségi értékek is rendelkezésre állnak, úgy az átlagos kódhossz. TJ

A meghatározható: n L,Í— PI-LÍ = PI-LI + P2-IJ2+ , . . +Pn-L

N (2) í = l A szakirodalom [2, 4] tanúsága szerint bizonyított, hogy Y

1

, PL-Li a ^ pí • log bin 1 i — l i= 1 Vi (3) azaz JJ,Í = II• Különleges esetben, egyenlőség akkor áll fenn, vagyis akkor L&—1I, ha £j=logbin 1 jp;. Ebből következően az átlagos kódszóhossz akkor egyezik meg az entrópiával, ha Pi , = 2 (4) + Polog bin —+ . . . -f p

n • log bin— (1) P

2 Pn ahol:// entrópia (bit egységekben), pi a folyóhálózati kódfa i sorszámú ágán végbemenő hidrológiai folyamat (pl. vízhozam-tetőzés) valószínűségi mértékszáma a kódfa gyökérpontjára vonatkoztatva, log bin a kettes alapú — bináris — logaritmus, amelynek külön megjelölésétől a későbbiekben akár eltekinthetnénk, hiszen a bináris rendszerünkben csak a bináris logaritmust célszerű használnunk. További feltételünk, hogy n 0 — Pl — 1 és ^ Pi-Pi +P2+ • • • +Pn — 1 • í=l Ha valamelyik valószínűségi érték egységnyi volna, úgy a többi már csak zérus lehet. Ebben az esetben //=0. Nagyobb entrópia értéket, mint ami az azonos valószínűségi értékekhez p

1=p

2= = .. .'Pn^l/n tartozik — ez esetben //=

log bin n — Ha az átlagos kódszóhossz értéke éppen az entrópiáéval egyezik meg, ez ennek a (3) egyenlőtlenség alapján éppen a minimális értékét jelenti. Ebhez a (4) összefüggés szerint az szükséges, hogy a kódfa végpontjaihoz tartozó valószínűségek a folyóhálózaton értelmezhető bináris alárendeltségek (hierarchiák) arányai szerint oszoljanak meg. Az átlagos kódszóhossz minimuma: az optimális kódolás állapota. Optimális esetben tehát a rövid kódszavak nagy valószínűséggel, a hosszú kódszavak kis valószínűséggel szerepelnek. Számszerűen: az egyjegyű kódszónak optimális esetben fél, a kétjegyűnek negyed, a háromjegyűnek nyolcad stb. valószínűséggel kell szerepet kapnia. A vízgyűjtő hálózatok tényleges viszonyai között általánosságban Li > Ii. A gyakorlati esetek tehát nem az optimálisak, de lehetnek azok is. Az általános esetek értékelésére hatásfok fogalmat vezethetünk be. A hálózat-kihasználási hatásfok megmutatja, hogy a folyóhálózat on a hidrológiai helyzetnek és a vizsgált hidrológiai sajátosságoknak megfelelő átlagos kódszóhosszhoz hogyan aránylik az optimális, tehát a bináris alárendeltségi viszonyok szerinti minimális kódszóhossz. A hatásfok egységnyi értéke az árvízvédekezés szempontjából a leg-