Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)

12. szám - Dr. Vágás István: Folyóhálózatok gráf-elmélete

Dr. Vágás I.: Folyóhálózatok gráf-elmélete Hidrológiai Közlöny 1972. 12. sz. 559 veszélyesebb találkozási lehetőségek bekövetkezését jelzi, zérus értéke pedig azt, hogy az egész íolyóhálózatnak csak az egyik ága „aktív", így árhullám-találkozásra nem kell számítanunk. A hatásfok kifejezése: II £PI • log bin 1 IPI n=j-= — JJIÍ (5) l'pi-Li 2. példa. Az 1. példának és a 2. ábrának megfelelő elhanyagolásokkal idealizált tiszai vízgyűjtő-rendszerben határozzuk meg az átlagos kódszóhossz optimális értékét, ezáltal állapítsuk meg egyúttal az árvíz keletkezésre legveszélyesebb helyzetet jellemző maximális entrópia értékét is ! A folyók 1. példában közölt sorrendjében az I kódszóhosszak az alábbiak: 8, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 5, (i, 7, 8 bit. Optimális kódszóhossz lehetősege során bármely hidrológiai folyamat jelentőségének súlyát a bináris hierarchiában betöltött helye határozza meg a (4) egyenlet szerint, tehát a p valószínűségek értéke az előző sorrendnek megfelelő vonatkoztatásokkal az alábbi: 1/256, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/8, 1/32, 1/32, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256. [A törtszámok összege: 1.] A (2) egyenlet alkalmazásával: 1111 D<t = 5-3— + 4-4 + 3-5- — +1-6-— + 8 16 32 64 1 1 455 + 1-7- +2-8- = =3,5,5 =

//max 128 256 128 (bit egységekben). A kapott eredmény érzékelteti, hogy Szeged, mint „gyökérpont" szempontjából a hármas ós négy jeggyel kódolt folyók — a Maros és a Körös rendszere, a továbbá a Tisza-mellékvíz rendszer három jegyig, ill. négy jegyig tartó alsó szakasza — áll a legközelebb a kiszámított átlaghoz, ós, ha az egyes mellékvizek fontossága —- vízhozamaikat illetően — megközelíti a most vizsgált legveszélyesebb megoszlást, ezeknek az említett folyóknak a szerepe a tapasztalat szerint valóban a legjelentékenyebb. Igazolták ezt az 1070. évi május — júniusi nagy árvíz tapasztalatai is. 3. példa. Számítsuk ki az entrópiát a Tisza vízrendszerében minden folyóra egyidejűleg érvényesített átlagos vízhozamok megoszlására vonatkozóan. A p „valószínűségi" órtókoket a szegedi átlagos vízhozamból az 1. példában követett sorrend szerinti folyókra jutó hányad értelmezi. Ezek [zárójelben a nekik megfelelő entrópia értéke bit egységekben"]: 0,250 (0,500); 0,162 (0,426); 0,019 (0,108); 0,025 (0,133); 0,025 (0,133); 0,038 (0,178); 0,031 (0,156); 0,025 (0,133); 0,012 (0,079); 0,012 (0,079); 0,038 (0,178); 0,038 (0,178); 0,162 (0,426); 0,006 (0,046); 0,150 (0,410); 0,006 (0,046). A közölt számértékekből — a zárójelbe tett értékek összeadásával: II — 3,209. Ennek az optimális kódszóhosszra vonatkoztatott hatásfoka: y = 0,90. Ez azt mutatja, hogy a Tisza vízrendszerében az átlagos vízhozam-megoszlási viszonyok is meglehetősen közel állnak a legveszélyesebbhez ! Ezt látszik igazolni, hogy az 1970. évi tiszavölgyi árvíz június 2-i szegedi tetőzósóhez vezető vízhozam-megoszlására meghatározott entrópia —- a mérési bizonytalanságok figyelembevételével — sem lehetett több 3,25 bit-nól. Ugyanennél az árvíznél egyébként a június 18-i szegedi második tetőzést létrehozó vízhozam-megoszlásra meghatározott entrópia értéke: 2,80 bit, tehát az előzőnél lényegesen kevesebb volt. Nyilvánvaló, hogy az utóbbi esetben más arányokat kapunk, ha a számítást csak n Körösök remiszerére végezzük el. Összegezésként megállapíthatjuk, hogy az entrópia, mint mérőszám, érdekes, új lehetőséget biztosít a folyóhálózat egymásra ható elemeinek jellemzésére, az árhullám-találkozások ós azok viszonylagos veszélyességének mérlegelésére. Ez a mérőszám egyúttal biztosítani hivatott az információ-elmélet és a gyakorlati hidrológia kapcsolódását is. Folyóhálózat, mint folyamat-ábra Ha a bináris fával ábrázolt folyóhálózat szabad végponjait egy közös folyamatkezdő-ponttal köt jük össze — amivel az árhullám vízgyűjtőn való megindulásának közös okát: a csapadékhullás vagy a hóolvadás megindulását jelképezzük —, a faalakzat zárt gráffá egészül ki, s a kezdőponttól a mellékfolyók összefolyását jelző gyökér-pontig a folyásirány szerinti irányítással folyamat-ábra (hálódiagramm) keletkezik. A folyamat-ábra gráf-élein meghatározhatjuk és feltüntethetjük az árhullámcsúcs áthaladásához szükséges időtartamot, vagy adott feltételek mellett létrejövő különböző időtartamokat. A kezdőpont és a bináris fa szabad végpontjai közötti, az előzőkben vázolt gráf-kiegészítés eredményeként berajzolt éleken nemcsak az átvonulási idő tüntethető fel, hanem ezzel összegezetten az az időtartam is, amennyivel később keletkezik a szóbanforgó élnek megfelelő vízgyűjtőn az árhullám az alapul választott általános vonatkoztatási időponthoz képest [5]. A kezdőpontból a folyamat-ábra gyökér-pontjáig legalább annyi nyílfolytonos úton juthatunk el, ahány kódolható mellékfolyót számításba vettünk a kódfii felrajzolásakor. Veszélyes helyzet alakul ki, ha a lefolyási utak mellett összegezett átfolyási időtartamok ugyanarra az összefolyási csúcspontra vonatkozóan egyenlők, vagy közel egyenlők. Az entrópia-viszonyok értékelésével szemben itt módunkban áll a tetőzés időpontjainak összefüggéseit is tanulmányozni. Azt is megállapíthatjuk, hogy az előzőkben bemutatott bináris fával, ill. az utóbb kiegészített zárt folyamatábrával értelmezett jelenségek értékelése az árhullám-találkozások vizsgálatának két, egymást kiegészítő, különböző oldala. A folyamat-ábrán a kezdeti eseményt jelölő csúcsponttól a folyamat végét jelképező gyökérpontig a vízfolyás irányával megegyezően bejárható utak közül azt, amelyiknek a bejárásához szükséges időtartam-összeg a legnagyobb: kritikus útnak nevezzük. Annak feltétele, hogy a vízrendszer két összefolyó vízfolyásán az árhullámok pontosan tetőzésükben találkozhassanak, az, hogy mind a két út egyaránt kritikus út legyen az összefolyás szelvényére vonatkozóan. A tetőzések találkozásának a legveszélyesebb esete, ha mindegyik út kritikus út. Az elmondottakból következik, hogy a folyamat ábrán végzett hidrológiai vizsgálatot ezúttal is „kritikus út módszer"-nek nevezhetjük. 4. példa. Rajzoljunk folyamat-ábrát a Tisza vízrendszerének I. példában figyelembe vett mellékfolyóin összegyülekező árhullámra a) közép vízi viszonyok között, b) az 1970. óvi nagyárvíz májusi árhullámaira A 3. ábráról látható, hogy átlagos helyzetben, amikor az egész vízgyűjtőn egyszerre kezdődik az esőzés, vagy hóolvadás és további, megismétlődő vízbetáplálás nincsen, csak egy kritikus út lehetséges. 1970. májusában viszont a második marosi árhullám Szegednél létrehozta a két kritikus út igen veszélyes állapotát (4. ábra). Más gyökerpontokra vonatkoztatva (pl. Vasárosnamcny, (lyulafehrrrár) további kettős — sőt többszörös —— kritikus úthoz közelálló» helyzetek tették különlegesen veszélyessé az árhullám-találkozások szempontjából az