Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)
10. szám - Korszerű eszközök, matematikai módszerek a területi vízgazdálkodás gyakorlatában (III. rész) - Halász Béla: A kitermelhető mélységű vízkészletek meghatározásának ptenciál elméleti módszerekkel
Korszerű eszközök, matematikai módszerek Hidrológiai Közlöny 1972. 10. sz. 457 másváltozásnál a folyadéksűrűség változás a következő összefüggésből: /?„—— =d?) (13) v számítható. A kőzet kompressziós törvénye Terzaghi szerint de=-a tdp k (14) ahol F=JI/1 — n— a kőzet hézagtényezője, ,,pt" — a kőzetre ható nyomás. A talajmechanikából közismert, hogy dp=—dp k. Mivel a folyadéktérfogat változás \W f=d[y~^xyz ) és xyzell + e — a kőzet váz térfogata, amely változatlan marad: W dW f= r-(l(ys 1. i £ + e Ide behelyettesítve a (13) és (14) összefüggéseket, kapjuk d W f W 1 + e y(ejEv + (h) dp. Ezt az összefüggést átrendezve és figyelembevéve, hogy dply—dh, kapjuk a folyadékkapacitás törvénvét: A W'.= ß W; ß = (1 5) d/í térfogatrészben uralkodó potenciál d t:$=dh öt változást és így térfogata ßdv'fdt, at tehát az egész ,,V" térfogatú közegrész vízmenynyisége III C (v) d/ d V szerint változik. Másrészt az „F" felületen ,,v s" sebességű szivárgás útján a ,,F"-be beáramló, illetőleg az onnan kiáramló vízmennyiség különbsége ugyanazon ,,d/" idő alatt Q 2= fflv sdFn°dt, (í 1) ahol ,,n°" — az ,, F" egységnormális vektora. A kontinuitás elve miatt Q X=Q 2> azaz {fff dft dV +ff™° á F} d t = °(F) (F) A Gauss—Osztrogradszkij tétel alapján 9 A III (OH (V) dV=0. amely a „A" potenciálváltozás, „W" kőzegtérfogat és a ,,ß" ún. „rugalmas" kapacitás függvényében megadja, hogy potenciálváltozáskor mekkora folyadékmennyiséget képes a közeg felszabadítani vagy elnyelni. A (15) törvény szintén közelítő jellegű, mivel a (14) kompressziós törvényben az ,,a t" tömörödési tényezőt állandónak, azaz a kompressziót lineárisnak veszi. Közismert ugyanakkor, hogy a szemcsés ülledékek kompressziós görbéje nem egyenes. Ennek a figyelembevétele viszont leküzdhetetlen matematikai nehézségeket támasztana. Ugyanakkor a talajmechanikai tapasztalat bizonyítja, hogy adott nyomásváltozási intervallumban a kompressziós görbét húrjával helyettesítve a konszolidációs jelenségeket elég pontosan le lehet írni. Ezért a (15) törvényt jó közelítésként el lehet fogadni. A fentiekből következik, hogy vízkivételnél az ,,e" hézagtényező, azaz az ,,n 0" aktív hézagtérfogat csökken, ami ahhoz vezet, hogy a közeg szemcséi közelebb kerülnek egymáshoz, azaz a ,,£di" mennyiség egységnyi kőzegfelületre eső n fajlagos értéke növekszik, a szivárgási tényező értéke csökken. Azonban a közeg relatív deformációja általában nem nagy, tehát az áteresztőképesség-változást elhanyagolhatjuk. Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy ez szintén közelítés. A (12) és (15) törvények ismeretében már levezethető a potenciálelmélet egységes alapját képező differenciálegyenlet. Valóban, jelöljünk ki a szivárgó közegben, egy ,,V" térfogatú és ,,F" felületű térrészt, és vizsgáljuk az e térfogatban tartózkodó vízmennyiség időbeni változását. Ez kétféle módon történhet. Egyrészt ,,d/" idő alatt egy elemi ,,dV" Mivel ez minden „V" térrészre igaz, az integrandus azonosan egyenlő nullával. Ezt valamint a (12) törvényt felhasználva kapjuk: 8A ß -—= div (K gradA) 81 Ennek az egyenletnek koordinátás alakja: ß~ = v(Kvh), (16) ii 8 8 8 T r .. ahol v = —+ —+ — a Hamilton opezator. dx 8y az Mivel „K" és „ß" „h"-tól független a (16) differenciálegyenlet változó együtthatójú lineáris egyenlet, melyre érvényes a szuperpozíció elve. Ezért elvégezhető a következő művelet: + ß-± = v(Kv/ h) -ß-^ = v(K vA 2) ^g i(Äi-A.)=v[Xv(A 1^A a)] i (17) vagy bevezetve az S=h 1 — h 2 jelölést, ahol ,,S" — pl. depresszió, kapjuk: (18) Tegyük fel most, hogy a (17) egyenletben szereplő ,,/ÍX'' az „utánpótlás" által determinált potenciál. Itt meg kell jegyeznünk, hogy egyes nézetek szerint a (16) egyenlet az ún. „utánpótlást" nem írja le. Hogy ez helytelen azt az „oldalirányú" utánpótlás esetén egyszerűen bizonyíthatjuk. Ekkor ugyanis közismert, hogy Ji=c 1x-l-e.,, ha a közeg
