Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)
9. szám - Korszerű eszközök, matematikai módszerek a területi vízgazdálkodás gyakorlatában (II. rész) - Dr. Zsuffa István: Kisvízhozamok hidrológiai statisztikai vizsgálata
38'S Hidrológiai Közlöny 1972. 9. sz. Korszerű eszközök, matematikai módszerek Valóságos árhullám tc'T'th trcsapadik idö [—^ tartama • J 'T-óssHgyüleketésiidö 1. ábra. A II. eloszlástípusnál használt matematikai modell. A vízhozam-időösszefüggés idealizálása 1. A felszíni lefolyások független növekményű eseményfolyamatot alkotnak. Ebből a feltételből levezethető, hogy a lefolyásmentes időszakok hoszsza exponenciális eloszlást követ. Tehát G(y) = p(t>^y)= l-e~'f' (2) ahol >') a lefolyásmentes időszak hossza, paraméter pedig a várható érték (és a szórás) reciproka, y a valószínűségi változó. 2. Az apadás folyamata negatív kitevőjű exponenciális görbével jellemezhető. Tehát Q=Q 0-e-< (3) ahol Q t í a kezdőérték, a a vízgyűjtő hidromorfológiai tényezőitől függő fizikai paraméter, t az idő. 3. Továbbá az apadási görbe Q n kezdőértékéről, vagy azt tételezzük fel, hogy 3.1. Q 0= konstans, vagy 3.2. exponenciális eloszlású valószínűségi változó, tehát H(z)=p(Q 0<z)= 1-e-V, (4) ahol /., paraméter a várható érték és a szórás reciproka, vagy 3.3. a statisztikai mintából a lefolyásmentes időszakok hosszát már eleve rögzített, fiktív kezdőértéktől számítjuk. Az első hipotézist valószínűségelméleti és fizikai meggondolásokkal ugyan elfogadhatóvá lehet tenni, de esetenként empirikusan igazolni kell. A csapadékmentes időszakokra az exponenciális eloszlás hipotézisét igazolták [7], de a felszíni lefolyásmentes időszakok exponenciális jellege a megfelelő matematikai statisztikai próbával külön is ellenőrizendő, hiszen a felszíni lefolyás, azaz az árhullámok maguk csak durván közelítik a független növekményű eseményfolyamatok matematikai modelljét : az árhullámok időtartama — a mértékadó lefolyásmentes időszakok hosszához viszonyítva ugyan nagyságrendileg kisebb, de mégis — véges érték, a nedves időszakok lényegesen nagyobb lefolyása pedig a független növekményű folyamatra vonatkozó hipotézist teszik merésszé. A második hipotézis elnagyolt hidraulikai modellekkel, a Darcv törvénnyel ugyancsak elfogadhatóvá tehető. [5]. Természetesen ezt a hipotézist is, pl. az észlelési adatok szemilogaritmikus papíron való ábrázolásával esetenként igazolni kell. A harmadik pontban jelzett három különféle hipotézis munkahipotézis, azokat esetenként ellenőrizni kell. Ezek két alternatív eredményre vezetnek, amelyeknek megfelelően két különböző eloszlásfüggvényt vezethetünk le. A 3.1., ill. 3.3. hipotézisnek a későbbiekben az I. típusnak nevezett eloszlásfüggvénytípus felel meg, de a függvénytípus kiválasztása után magát a függvényt más és más módon összeállított és ellenőrzött statisztikai mintából becsüljük aszerint, hogy a 3.1., ill. 3.3. hipotézist fogadtuk el. A 3.2. hipotézisnek a II. eloszlásfüggvény típus felel meg. Az I. eloszlásfüggvényhez a valószínűségi változó függvényének az eloszlására vonatkozó közismert tétel alapján juthatunk el: Ha a (3) apadási görbében t valószínűségi változó exponenciális eloszlású és Q 0 konstans, Q eloszlásfüggvénye (figyelembe véve, hogy folytonos eloszlású valószínűségi változó) P(Q <y)=P(Q 0e-< <y)=p[t><P~Hy)]= ahová behelyettesítve az @(t)=Q 0e inverzét az alábbi eloszlásfüggvényt kapjuk a, 0(x) = t(Q^x)(JMS* ha o^ és 0(x) = O és <P(.r)=l ha x^O ha x^Q 0 (5) Az így konstruált függvényről a szokványos vizsgálatokkal bebizonyítható, hogy valóban eloszlásfüggvény (monoton növekvő, értéktartomány a 0 és 1 közé esik). Sűrűségfüggvénye könnyen meghatározható, a várható értékre és szórásra az alábbi összefüggéseket kapjuk: M(x) = Q o 1+/3 Q o-ß i/ i l + ß ] 1 + 2ß (6) (?) A II. típusú eloszlásfüggvénytípus levezetéséhez fel kell még használnunk a két valószínűségi változó szorzatának eloszlásfüggvén vére vonatkozó tételt: W= f [ g(y)-h(z)dydz (8) •V ahol g(y) és h(z) a hipotézisekben leírt eloszlásfüggvények sűrűségfüggvényei, ahová behelyettesítve és figyelembe véve, az apadási görbe függvényét, és figyelembe véve az apadási görbe egyenletét, az alábbi integrál formulát kapjuk: (9) ahol A,, A 2 a statisztikai paraméterek és az s = e~'z változó transzformációt is célszerű volt végrehajtani. Az integrál kiszámításánál az integrálási tartományt, a valószínűségi mezőt a 2. ábrával rögzíthetjük.
